不使用范畴论，如何刻画一个线性映射是“自然”的？ 第1页
1
Masaki.Ryuu 网友的相关建议:
有限维线性空间 就是矢量的集合, 其对偶空间 则是矢量到相应数域的映射的集合.
这就是说 作用在 后都会给出数域中的一个数
作为线性空间它们维数相同, 而维数是线性空间唯一的特征量, 所以这俩空间是同构的. 主要是因为线性空间的结构太简单了, 同构映射无非就是二者基底之间的一个线性双射. 而基底的选取有无数多种且均平权, 这就无法挑出最独特的那款双射称之为自然同构, 换句话说就是不同的人在不互相交流的情况下无法保证能做出相同的选择.
但线性空间 与对偶空间 的对偶空间 之间确实能找到一款独一无二的同构映射.
就是说对 都可以定义映射 使得对 都能满足 . 而这个 正是 中的元素, 然后 对线性空间 中矢量的作用都是确定的, 所以映射 就是确定的, 这样一来, 能类似地将 都指向它的天命之子 的同构映射就是一个确定的、独一无二的东西了.
而这个映射在人间界被称为自然同构.
所以我看来, 自然的标准就是, 存在这么一个独一无二的对象能让所有人都做出统一的选择来.
1
相关话题
114514 阶的群有哪几类？如何从数学角度证明魔方复原存在必可解策略？
A的秩=r(A),为什么齐次线性方程组的解由n-r(A)个线性无关的向量构成？
如图题，如何不用“强拆”的方式证明？
如何理解群表现？
何为分析方法、代数方法、几何方法、拓扑方法？
希尔伯特空间、内积空间的定义有什么关系和区别？
高次韦达定理是什么？如何证明？
请问一下，如何证明有限生成R(交换幺环)-模的满自同态一定是同构呢？
如果规定数 j 满足 j 的绝对值为 -1 ，数集会不会有新的扩充？
前一个讨论
如何推出这两个随机变量都是泊松分布？
相关的话题
怎么用一句话证明 det(M1 M2)＝det(M1)det(M2)？如何证明不等式（来自小蓝本）?
怎样普适地求此特殊非线性矩阵方程的解？
请问费马大定理写成方程形式是否可以证明？
如何看待全民代数几何的现象？
有哪些用偏几何的方法来得到代数问题的优美解答的例子？
怎样普适地求此特殊非线性矩阵方程的解？
请问“重根按重数计算”如何理解呢？
不使用范畴论，如何刻画一个线性映射是“自然”的？
无限群是否一定含无限阶元？无限群是否一定有无限多个子群？
如果你要向一位学过初级的抽象代数的本科生推销数学工具「正合序列」，你会如何介绍它？
怎样用简单的语言解释 monad？
如何理解矩阵对矩阵求导？
这个要如何证明?
如何理解 Farkas 引理？
无理数是否真的存在？
抽象代数，如果G是一个奇数阶群，则G中的任何元都是一个唯一确定的元的平方，怎么证明，尤其是唯一性证明？
群论研究结构，「结构」一词是什么意思？跟数学有什么关系？
怎么巧记施密特正交公式？如图。？
有哪些不借助变换群的观点就很难解答的欧氏几何问题？
矩阵最小多项式的几何意义是什么?
如何证明全体n维正交矩阵组成的集合是全体n维矩阵集合上的紧集？
线代的问题：所有的方阵都可以化为对角阵吗？
如何理解 Farkas 引理？
可以有如图这样弯曲的向量A吗？
这个代数题怎么解？
一个范畴问题?
参加第五届函数式编程分享会是什么体验?
如何从代数和几何的角度分别理解矩阵？
不使用范畴论，如何刻画一个线性映射是“自然”的？