不使用范畴论，如何刻画一个线性映射是“自然”的？ 第1页
1
Masaki.Ryuu 网友的相关建议:
有限维线性空间 就是矢量的集合, 其对偶空间 则是矢量到相应数域的映射的集合.
这就是说 作用在 后都会给出数域中的一个数
作为线性空间它们维数相同, 而维数是线性空间唯一的特征量, 所以这俩空间是同构的. 主要是因为线性空间的结构太简单了, 同构映射无非就是二者基底之间的一个线性双射. 而基底的选取有无数多种且均平权, 这就无法挑出最独特的那款双射称之为自然同构, 换句话说就是不同的人在不互相交流的情况下无法保证能做出相同的选择.
但线性空间 与对偶空间 的对偶空间 之间确实能找到一款独一无二的同构映射.
就是说对 都可以定义映射 使得对 都能满足 . 而这个 正是 中的元素, 然后 对线性空间 中矢量的作用都是确定的, 所以映射 就是确定的, 这样一来, 能类似地将 都指向它的天命之子 的同构映射就是一个确定的、独一无二的东西了.
而这个映射在人间界被称为自然同构.
所以我看来, 自然的标准就是, 存在这么一个独一无二的对象能让所有人都做出统一的选择来.
1
相关话题
高等代数证明和结论记不住怎么办？一个数学问题，(x1+x2+……+x8+1)的8次方，合并同类项后有多少项，类似问题怎么解决？
我们在数学中为什么要引入复数？
如何证明:p3阶非Abel群的中心必同构于Zp，这里p为素数？
是否存在一个比复数更大的数域，使得任意五次方程都有根式解？
二次型的惯性定理中「惯性」是什么意思？
为何可逆上三角形矩阵的逆矩阵也是上三角形矩阵？
有什么答案为5201314的高阶行列式（四阶以上）?
σ-代数为什么叫代数？它有代数结构吗？
有哪些有趣的或者是反常识的数学问题？
前一个讨论
如何推出这两个随机变量都是泊松分布？
相关的话题
哪些线性代数（指一般意义上的本科一年级的课程）的难题可以用李群李代数的知识简便、优雅地做出来？负数与负数相乘为什么会得正？
负数与负数相乘为什么会得正？
如何证明任何一复系数整式p(z)都可以分解成若干个(z-c)相乘的形式？
这道线代题该怎么做？
向量组等价时其秩一定想等吗？
这个用数分积分可以说明吗？不用高代上正定矩阵的?
有哪些用偏几何的方法来得到代数问题的优美解答的例子？
任何Abel群都能在其上赋予乘法，使其变成含幺环吗？
有哪些有趣的或者是反常识的数学问题？
怎么样通俗易懂地向小学生介绍群论的思想？
高等代数证明和结论记不住怎么办？
如何判断一个方阵变换会导致源向量模长缩小？
有没有休闲级别、能读懂的讲「群论」的书籍？
请问对称矩阵的平方根怎么算，有公式吗？
如图题，如何不用“强拆”的方式证明？
一个矩阵的逆矩阵是唯一的吗？
n - r = 基础解系的个数，这是为什么？
如何以「我觉得代数拓扑实在是太简单了」开头写一篇故事？
请简单地表述结合律和交换律的区别和联系。结合律为什么那么普遍？
该n元不等式如何解？（张端阳的题）?
抛开物理意义，数学家在纯代数中讨论张量积或者多重线性映射的思想背景是什么？
请问能给出一个例子，使一个向量空间的子集只满足包含0且对加法封闭但不对标量乘法封闭吗？
被人问，数学上为什么减去一个负数等于加它的相反数（这种规定从何而来）？
线性代数在现实中的用途有什么？
为什么A的行列式不等于0 A满秩?
维数可以是虚数吗？
怎么评价北大版的《高等代数》？
怎么形象地理解对偶空间（Dual Vector Space）？
orbifold和groupoid有没有人了解？