请问陪集、左陪集、商群、正规子群该如何理解？ 第1页

从徐一鸿的《Group Theory in a nutshell for Physicists》中看到的：

在群论中，人们喜欢把那些没有非平凡不变子群的群称为“单群”，英文名叫“simple group”，看它的英文名你大概就能猜出来它的性质了。有一些群，它没有内部结构，不能分解成更基本的群的直乘形式，这样的群往往被称为“简单”群；而另外一些群，它有内部结构，它可以被看成更基本的群的直乘形式，而通过研究它的非平反不变子群我们就能得知它是由哪些更基本的群组成的。而这样的分解过程可以不断进行下去，直到找到一个最终为单群的不变子群为止。

举个最简单的例子吧，两个二元群可以通过群乘的方式变成一个四元群，二元群的元素分别为1和-1，而这两个二元群组成的四元群系统的元素共有四个（1，1），（1，-1），（-1，1），（-1，-1），你能看出什么来？（1，1）和（-1，-1）组成了一个子群并且是不变子群，这是一个二元群，而由这个不变子群的陪集所组成的群也是一个二元群。通过这样的方式，我们就知道了它的内部结构并且把它分解成两个二元群直乘的形式。

其他回答中已经把technical details解释得非常明白了 我来补充一些"玄学" 它可能能帮助到直观理解它

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首先 要直观理解什么是quotient object
简而言之 quotient 本质就是：忽略信息
为什么要忽略信息？因为信息太多了 又参杂着无用信息混淆视听

对于任何object 定义了equivalence relation后, 都可以做quotient
equivalence relation告诉我们 哪些"不同的东西"被我们看作相同
i.e. 哪些"差别"是可以被忽略的
而quotient by an equivalence relation的效果就是：
忽略这些信息
几乎所有结构都可以做quotient 包括但不限于
groups, rings, modules, vector space, algebra, topological space 等等

In particular, 一个 quotient group 的意义是
当
也就是说 当两个元素的差在 中，我们忽略它们的不同

quotient的好处就在于 被忽略的信息是我们不在乎的
于是我们所在乎的信息就会被保留下来 而我们可以不受干扰地研究它
比如quotient by the kernel of a homomorphism
就是忽略了 domain中额外的信息：
我们不在乎domain中两个元素是否不同
我们只在乎它们的image是否相同

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在理解了quotient的意义后 基本知道什么是quotient group
接下来我说说别的

首先coset, 本质就是equivalence class
也就是被我们忽略掉不同的一伙东西的集合体
既然我们忽略掉了它们的不同 那么随便挑出其中一个 就可以代表整个coset
这就是为什么我们的notation中coset是一个set
但是可以像 这样用一个 来表示
你可以把它理解成： up to "a difference in "

鉴于Group不一定交换，那么left coset/right coset这两种方式就不一样
不过它们等价 所以在意一个就可以了

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最后 再说说什么是normal subgroup
显然 不是任何东西都可以作为合适的equivalence relation
就好比不是所有map都是homomorphism
我们把respect our structure的map尊称为homomorphism
而我们把respect our structure的equivalence relation称为
normal或是ideal

通过简单的推导 就可以发现一个subset可以被作为equivalence relation
当且仅当它满足你学到的normal subgroup的这些条件

对于不同structure 合适的equivalence relation是不一样的
比如ring对应的ideal 它甚至都不是subring
比如module可以对任何submodule做quotient
具体条件就要具体分析

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希望能帮到人们！