哪些线性代数（指一般意义上的本科一年级的课程）的难题可以用李群李代数的知识简便、优雅地做出来？ 第1页
1
alex-70-22-31 网友的相关建议:
舉一些例子吧。
題一：證明正交矩陣總是可對角化。
證明：正交矩陣是緊緻李群（ ）的元素。選取 的最大環面群為對角矩陣所組成的群。已知任何緊緻李群的元素都共軛於其最大環面的元素，所以正交矩陣總是可對角化。
題二：令 ， 。已知
。
證明存在可逆的實 階矩陣 ，使得 均為上三角矩陣。
證明：用李括號可將以上條件寫成
。
所以 其實是李代數。利用Jacobi identity可知
。
設 。代入 及題目的條件，可知 。所以 其實是可解李代數。根據Lie's Theorem， 的元素可以同時上三角化（simultaneously upper triangularizable）。
至於題目一年級的解法，有空再寫吧。
1
相关话题
孩子的梦想是成为天文学家，怎样帮助他去接近梦想？为什么不能直接把哥德巴赫猜想作为一个公理？
为什么极限理论是基于实数的完备性？
几乎处处收敛和依测度收敛的区别是什么呢？
如何直观地理解阿贝尔变换恒等式？
研究尺规作图时发现一个猜想不知是否可以完全解决？
400 级地震和 13 亿分贝，哪个能量更大？
数学系的学渣该怎么找到工作？
能否使用3的指数来减小二进制文件存储的体积？
设光速为1那么我的飞船（小滑块）达到0.9的循环，是否能代表我达到了光速？
下一个讨论
以数学史的观点来看，集合论是如何成为数学基础的？
相关的话题
有没有可能把 π 或 e 等无理数当成 1，这样就能使许多定理显而易见？数学中有哪些看起来很不可思议的知识？
100名囚犯猜红绿灯，最多能保证多少人猜对？
什么是「斯特林公式」？
如何用十分中二的方式解数学题？
拉氏乘数法中为什么认为最值一定是极值呢？
数学功底究竟指的是什么？
会不会在数学发展足够先进的时候，人们学100年也几乎达不到当时最前沿数学领域，使得数学无法继续发展?
怎么用一句话证明 det(M1 M2)＝det(M1)det(M2)？
数学系的学生能硬核到什么程度？
这个定理请问有人会证明吗？
数学可以直观想象么？
人类是否能想象出多维空间的形态？
π可能等于4吗 ?
数学学习或研究中，你见过哪些有意思的反例？
并非所有数学硕博都能从事科研，那么多数人继续读数学的理由为何？
如何求解这个小球碰撞次数与圆周率关系的趣味问题？
有哪些手算对数的方法？
为什么不存在收敛速度最慢的级数？
如何证明下面的问题？
高等数学中学泰勒公式，感觉几何意义很模糊，怎么理解？
二十世纪以来最牛的数学家（Grothendieck这种级别的）都有谁，你最崇拜谁，为什么？
学习数论图论有必要先学抽代和高代吗？
該如何理解約翰·馮·諾伊曼(John von Neumann)的這段話?
你曾经看过哪些精彩的数学书？
求指教一道数列方程组问题如何做？
一年级的孩子数学考试不读题目了，有没有什么小方法改善？
二维世界真的可能存在吗？如果存在，如何去理解它？
如果放开一个质量为负数的物质会出现什么？
如果换一种几何，圆周率的值会变么？