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哪些线性代数(指一般意义上的本科一年级的课程)的难题可以用李群李代数的知识简便、优雅地做出来? 第1页

  

user avatar   alex-70-22-31 网友的相关建议: 
      

舉一些例子吧。

題一:證明正交矩陣總是可對角化。

證明:正交矩陣是緊緻李群( )的元素。選取 的最大環面群為對角矩陣所組成的群。已知任何緊緻李群的元素都共軛於其最大環面的元素,所以正交矩陣總是可對角化。

題二:令 , 。已知

證明存在可逆的實 階矩陣 ,使得 均為上三角矩陣。

證明:用李括號可將以上條件寫成

所以 其實是李代數。利用Jacobi identity可知

設 。代入 及題目的條件,可知 。所以 其實是可解李代數。根據Lie's Theorem, 的元素可以同時上三角化(simultaneously upper triangularizable)。

至於題目一年級的解法,有空再寫吧。




  

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