哪些线性代数（指一般意义上的本科一年级的课程）的难题可以用李群李代数的知识简便、优雅地做出来？ 第1页
1
alex-70-22-31 网友的相关建议:
舉一些例子吧。
題一：證明正交矩陣總是可對角化。
證明：正交矩陣是緊緻李群（ ）的元素。選取 的最大環面群為對角矩陣所組成的群。已知任何緊緻李群的元素都共軛於其最大環面的元素，所以正交矩陣總是可對角化。
題二：令 ， 。已知
。
證明存在可逆的實 階矩陣 ，使得 均為上三角矩陣。
證明：用李括號可將以上條件寫成
。
所以 其實是李代數。利用Jacobi identity可知
。
設 。代入 及題目的條件，可知 。所以 其實是可解李代數。根據Lie's Theorem， 的元素可以同時上三角化（simultaneously upper triangularizable）。
至於題目一年級的解法，有空再寫吧。
1
相关话题
数学与物理是什么关系？锐角三角形的内接三角形中垂足三角形周长最短，怎么证明？
如何通俗地解释因子分析？
如何看待 arXiv2111.02792 对黎曼猜想的证明？
为什么被积函数大于零，积分结果就大于零？
如何证明这个由Abel定理得到的结论？
如何克服不想写论文的情绪？
大学学的数学专业，可是学不会怎么办，感觉不是学数学的料，迷茫？
你知道哪些冷门但内容十分好的数学书？
如何求函数 f(x) = sinx + sin2x + sin3x 的值域？
下一个讨论
以数学史的观点来看，集合论是如何成为数学基础的？
相关的话题
在 UCLA 上陶哲轩的课是什么感受？剩余类环的所有理想怎么求？
一道复变函数证明题怎么做？
为什么随便在计算器上按个数，然后多次按 cos 键，结果总是趋近于 0.73几？
如何评价同济大学版线性代数？
这个不等式题目怎么做？
是否存在一个由1和-1构成的数列an，使得对于任意k和b，sin(kn+b)*an/n总是收敛级数？
你学的知识中有哪些和最初的直觉相差甚远？
这个数学分析的问题该如何求解？
代数、几何能否联系一起？
函数求导的逆运算？
把线性空间分解为不变子空间的直和有何用处？
“不能被定义”是一种定义吗？
为什么物理学家往往比数学家更有人格魅力？
如何证明下面的矩阵秩的问题？
“太阳从西边或东边出来”是必然事件，随机事件还是不可能事件？
高斯到底干了什么？为什么这么多算法里有他？
如果把行列式定义中的(-1)^(逆序数)去掉，这种新的运算能用在哪里呢？
冰雹猜想疑惑，是不是不能被3整除的数必能回到1？
一个脑洞：理论上，是否有可能用一根棍子记录无限多的信息？
请问这到微积分证明题题怎么证?？
数学上是否存在 X，使 X=X+1，且 X=X^X？即：是否存在一些情况，使方程中的 X 不能移项？
一堆n维空间的由m个点组成的点集，m大于n，我们只知道它们之间的距离，能否判断所在空间的维数？
你的生活有没有因为你对数学的热爱，或者坚持有什么影响和改变？
这个级数是怎么得到的？
国内具有冲击 2022 年菲尔兹奖实力的数学家吗？
格林公式为什么不对称啊？
n阶矩阵A=（cos(αi−βj)）n，如何证det（A）=0？n,如何证明det(A)=0?
正在读数学 Ph.D. 的你对想读数学 Ph.D. 的本科生有什么建议吗？
朗兰兹纲领对现代数学有何影响？