分母（除数）为什么不能为 0？ 第1页

如果在一个集合 中定义一种运算 ，并且该运算满足：

则称 为半群，若 则称为含幺半群（简称幺半群）， 被称作幺元。若 ，则称 为半群 的零元。

设含幺半群 的幺元为 ，若 ，则称 是 的逆元，暂且将其记作 ，这时含幺半群就变成了群。

实际上这个问题就是问，为什么零元不存在逆元。

零元不存在逆元，可以符号化为（假设幺元不等于零元）：

这个命题不太好证，我们用假言易位律对上述命题做等价变化，得

然后我们证明这个命题，就可以说明零元不存在逆元（这就是反证法）

也就是说，零元必须和任何元经过运算 都得到零元，但与其逆经过运算 又必须得到幺元，只有幺元和零元相等才有可能出现这种情况，而在数域中， 就是 ， 就是 ，所以 自然不存在乘法逆元。

定义，若群 是阿贝尔群，则与一个数的逆之间进行运算 称作和这个数进行 的逆运算。（也就是说，小学学习的分数除法的运算方法，实际上是用来定义除法的。之所以除以一个数就是乘上这个数的倒数，乃是因为乘上一个数的倒数被定义为除以这个数，这不是循环定义，因为分数不是自然数，只能通过将自然数的乘法半群扩充成群来定义）

既然 没有乘法逆元，自然 就不存在倒数，也就不存在与 的倒数相乘的情形，也就不存在除以 的情形， 也就做不了除数。

不过，在微积分中，“零除数”另有用途，但只适用于形式化极限计算，而不能进行严格的数学计算和推理证明。虽然我们可以认为 ，但这并不意味着 是“实数乘法群”中 的逆元，计算机的浮点数运算都会做这样的处理：正数除以零得正无穷，负数除以零得负无穷，零除以零得到非数。

形式化计算有助于我们判定极限是可以直接通过函数的连续性来求，还是必须要经过一定的处理来求，同时也有助于计算极限，通常认为 。

无穷大和无穷小的运算法则是（设 ）

是未定式

是未定式（也就是说0和无穷大相乘不一定是1）

和 均是未定式

无穷大不是一个数，它的运算不符合数的运算的特性，自然我们也不可能将之放入群中，更不可能放入域中，数域中的零还是不能做除数。零分母和无穷大，只能用于形式计算。

关于比的后项

如果定义两个数相除又叫两个数的比，那么零自然不能作为比的后项，但是比和除法的功能毕竟不一样。除法是为了已知积和一个乘数求另一个乘数（有时也叫因数），而比是为了反映两个量之间的倍分关系，只不过前项除以后项得到的商可以被称作比值。实际上，比应该这样定义：
设 ，若 则 。这样实际上比的后项可以是零，它表示处在后项上的量等于零。比如电压比 表示一个元器件两端有电压，另一个元器件两端没有电压。而 表示两个量均为零。 可以做比的后项，只是没有比值（当前项不为零）或者比值不确定（当前项为零）而已。

这样实际上方便我们表示直线的点向式方程，我对直线下的定义是：若图形各点位矢满足 ，那么该图形就是直线。也就是说，点对应的位矢的各个分量与定点对应的位矢的各个分量之差与方向向量的各个分量成正比。而方向向量虽然不是零向量，亦即方向向量各分量不全为零，但不全为零不是全不为零，所以还是会有几个分量等于零的。因而我们需要零分母帮我们写出这样的直线的点向式方程，此时的零分母实际上就是等于零得比的后项，此时比的前项也必须为零。

的比值不确定，可以认为这个比值是任意的，但如果有两个比值同时等于 ，那么这两个比值必须相等，也就是说，如果 （ ），那么必须有

这样类似 的直线方程就也可以表示一条直线了，其中

P. S.：在群论中，零元很好理解，幺元这个词有点意思。幺元也称单位元，单位元这个词也好理解，因为 表示的就是单位量。而“幺”这个字来源于我们平时对数 的称呼，有的时候我们看到1不读“一”而是读作“幺”，比如手机号码187********读作“幺八七某某某某某某某某”，而且如果说单位元是“一元”听着也别扭，所以在群论中，单位元也就有了幺元这个称呼。