量子力学的Dirac符号系统优越性在哪，为什么不使用张量作为量子力学的数学语言基础？ 第1页

拿线性代数去写可以，其实只是换了个符号系统，本质就是做了个翻译，其实没变化。

更进一步讲的话，这里面有三个不同的事情：

1. 几何坐标以及各种向量丛里面的坐标系，这些你可拿爱因斯坦记号去写。
2. 可观测量空间：都是比如动量、能量算符之类这种（伪）微分算子，这个空间是很大的，而且这个空间有一些像泊松括号一样的代数结构，而一般来说面对有一定对称性的具体问题，可能会选择这个空间的一个比较小的子空间，比如你解氢原子轨道用的各种角动量算符。
3. 希尔伯特空间：一般是什么局部邻域上的函数，然后可观测量可以（酉）作用在它上面，这就是狄拉克记号表示的那个空间，这个空间是无穷维的。

若从几何量子化的观点，把希尔伯特空间改成像相对论那种几何坐标系，是不太行的，因为量子化得到的算符空间(2)、希尔伯特空间(3)和几何的切空间/余切空间(1)不是一回事，而是更为复杂的一个空间——实际上，你可以构造出来一堆很复杂的（比能量算符复杂）的可观测量——你只要写下来一个微分算子，然后它厄米自伴就行。而且如果你去解带不同可观察量算符的偏微分方程的话，基础解系可能互相之间也没什么关系，因此你也没什么办法去给你的希尔伯特空间去预先选好一组基（虽然不是不可以，但那情况下会很痛苦，你可能要面对一个无限多行和列的矩阵，或者压根没办法），而是得具体问题具体分析。这就导致其实在希尔伯特空间里面搞爱因斯坦记号之类的没啥用。

况且，从我个人比较偏颇的观点，比如动量算子、哈密顿算子所在的那个空间，是比较核心的一个对象，因为它和具体物理问题里面的群作用有密切的关系。而底下的那个几何空间，其实可能就是比较次要的了：一种群作用可能适用于许许多多的几何环境，有时候这些几何环境甚至可以从群作用本身出发去构造出来