自学交换代数（atiyah），却无能力自己证明书中的很多定理，是否表明完全不具备继续学习数学的潜力？ 第1页

相信大家也和我们遇到过同样的问题：如果完全不知道所学东西的目的，我们该怎么学？

当然是要去尽量了解它的动机和来源，我们可以去看别人的notes，或者Wikipedia，而此时是不用在意过多细节的。

大家都知道交换代数是为代数数论和代数几何服务的，我们列举两个最简单的例子：

1. 譬如第1章主要是环论，习题里有大量关于Zariski topology的练习，然而你要真的搞清楚 上的Zariski topology有什么几何意义，就不是totally trivial了。你可以学习一下古典代数几何最基础的内容：在affine space （ 是代数闭域）上有一个Zariski topology，它的闭集形如 。Hilbert's Nullstenllensatz （weak form）是说：

affine space 中的点 的极大理想

其简单的推论：

中的点 坐标环 的极大理想

如果我们记 为环 中极大理想理想的全体，那么Hilbert's Nullstenllensatz告诉我们，要研究几何对象代数簇affine variety ，本质上是研究代数对象 。如果你还了解一些sheaf的语言，那么你就会发现，代数簇 上的sheaf of regular functions 实际可以变成sheaf of rings on ，记作 。那么affine variety 实际上就是locally ringed space ，我们得到category of affine variety over ，记作 。我们容易证明：坐标环 是一个reduced finitely generated - algebra，任何一个reduced finitely generated - algebra都是某个affine variety 的坐标环。然后经过一些努力，我们会发现范畴等价：

affine variety over reduced finitely generated - algebra

我们希望推广这个范畴等价：把 reduced finitely generated - algebra换成任意的交换环 ，那么这个时候，左边的范畴即affine schemes的范畴，其对象是 。其中一个关键的问题在于， 与 相比，多了不少点，因为素理想总是要比极大理想多。

2. 再比如第5，9章，讲到integral closed domain，Dedekind domain。实际上，代数数论中我们会用到一类性质很好的环，即Dedekind domain，其中的理想有唯一素理想分解。具体来说，假设 是一个数域，那么 在 中的integral closure 是一个Dedekind domain，譬如对于任何一个素数 ， 是唯一分解， 是 中的素理想。研究 的分解的一小部分动机来于解不定方程，例如

有整数解

形如 这样的方程有很多，其解决办法都是考虑 在“更大”的环中怎么分解，而这就由 的算术性质决定了。

至于剩下的很多内容，就有更多的几何意义了，我们不打算再叙述更多代数几何的知识（我们会在专栏里写文章），而是建议题主不妨带着问题去念书，比如说：

• Chapter 11 Dimension Theory 究竟是怎么和几何对象的dimension联系起来的？
• Chapter 10 Completion 在数论和几何中的例子是什么？
• Chapter 2，3中一系列概念—tensor product，flatness，localization的几何意义是什么？

证明和做题可以让你获得满足感，甚至骄傲感，但可能不会让你理解定理的含义，为了理解更要去思考背后的目的，找到直觉。