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如何推出这两个随机变量都是泊松分布? 第1页

  

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我按照我分析的顺序写一个答案吧,权且不按正式答案的规范来,以便理解。

对取值为 的离散型随机变量 ,记生成函数 我们把条件紧凑地写出来,即是对 ,有

以下为了方便,记

并约定 [为了防止 退化到 ]。注意,概率的意义保证了 而且 均为连续的函数。同时,上面的方程就整理成了我们喜闻乐见的形式:

其中变量的范围约束是根据级数的收敛域来设置的。现在,固定 而变动 ,就有 再取定 ,得到

带回方程即有

再令 ,有 ,或者重新参数化变成 !Alas,是我们熟悉的 Cauchy 方程!而且因为连续性,立刻得知这解只能是线性函数!

现在就反推回最初的形式。设 ,那么

进一步回溯得到

那么当前仅当 时其各项符合概率非负的要求。由此, . 检验发现这所有的解都符合要求。Case closed.


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