抛开物理意义，数学家在纯代数中讨论张量积或者多重线性映射的思想背景是什么？ 第1页

从范畴论的角度来看，张量积可以被自然地定义为Hom函子的左伴随函子，而双线性映射的定义则给出了一个具体的构造说明了Hom函子的确是有左伴随的：

设 是环， 是右 -模， 是左 -模，则张量积 被定义为 生成的自由交换群商掉由下面一系列元素生成的子群：

更为熟悉的定义是通过万有性质来定义的：任意的平衡双线性映射 总可以分解为一个交换群同态 和一个固定的双线性映射 的复合。

从范畴论的角度来说， 表示了函子 ，即对任意交换群 有

其中 是所有平衡双线性映射 组成的交换群，所以这是一个从交换群范畴到交换群范畴的函子。因此从Yoneda引理的角度来看，这个定义下的张量积 是在典范同构的意义下唯一的。

通过这个定义，可以清楚地知道张量积是Hom的左伴随。设 是另一个环，并假设 同时有右 -模的结构。那么对任意的右 -模 和右 -模 有

这里涉及到了两个函子： 和 。这个自然同构的构造很简单：注意到左边是 （但不完全是，需要整合进右 -模的结构）。因此可以构造

另一方面，

可以验证这两个映射互为反函数。同样地，可以验证张量积和Hom在左模范畴里也是互为伴随的。

这个张量积和Hom的伴随关系可以给出很多有用的结构。例如Hom作为右伴随是永远左正合的，这可以证明投射模的两个等价定义；而张量积作为左伴随是右正合的，这也可以用来定义平坦模。进一步地，可以用Tor和Ext函子来考察张量积（缺少）的左正合性和Hom（缺少）的右正合性。