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可交换矩阵的求法有几种? 第1页

  

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如果是给定一个矩阵 ,求与之交换的所有矩阵的形式,可以做以下讨论:

首先做若当标准型分解: 其中 是右上副对角线为 的Jordan矩阵。则由于 ,即存在同构 从而问题等价于找到所有与 交换的矩阵 ,每一个 唯一对应一个 与 交换。

由于上述Jordan矩阵中特征根为 的Jordan块 第 行第 列元素 ,故若矩阵 ,其中 第 行第 列元素为 ,则

【注1:此处意指按Einstein约定对指标 求和】

【注2:若指标越界则为 】。

若 则从 左下角开始(设其为 矩阵),逐条研究左上/右下斜线贯穿的元素 从而 只有零解。

若 ,仍从 左下角开始(设其为 矩阵),由条件得到连等向左上/右下延伸,若超出边界则为 ,则 直到三元素组 “右上角” 在矩阵内时另两个元素均在矩阵内,可以任意取值。

如上我们得到了 的结构,即为满足 的 中分别左乘(行数对应于 所在列)等于右乘(列数对应于所在行)的块的结构。回忆开头的讨论,将 变换得到与 交换的矩阵即可。




  

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