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这个多项式问题从何入手进行求解? 第1页

  

user avatar   cade-74-10 网友的相关建议: 
      

丘维声书上的是简化版的。要求有n个根,而且都是1或者-1。

这个题目仅仅利用相同信息得不出结论,所以要再挖掘这个1的因子相关的性质。

具体如下


定理1: 是一个n次本原多项式,如果其在 上可约,则可以分解成两个本原多项式的乘积

书上有证明,比较简单

定理2:如果 是一个整系数多项式,则对任意不相同的整数a,b有 (整除)

这个直接由 得到

命题3: 是一个n次整系数多项式,如果其在 个不同的整数点上取得 ,那么它在这些点上的取值只能都是1或者都是-1

证明:假设 在k个点 上取值为1,在t个点 上取值为-1。不妨假设 即 是这些值的最大。

由定理2,知 ,所以 , (理由 )

如果 , ,推出

只有4个可能,矛盾,得证。


原题目的证明

证明:采用反证法。

不妨设 是本原多项式,由定理1知,存在本原多项式 使得 。

由 在 个整点取值为 , 在这m个点上取值也是 (因为1的因子只有 )

由命题3, 得出 在m个点取值为1或都为-1。

所以 有 个根(或者h + 1),故 (或-1)

得证

命题3可以证明m = 6时也可以,后面多一点讨论即可,这样的话,n = 10,11貌似也是可行的。

举例,我不会,等个大佬




  

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