丘维声书上的是简化版的。要求有n个根,而且都是1或者-1。
这个题目仅仅利用相同信息得不出结论,所以要再挖掘这个1的因子相关的性质。
具体如下
定理1: 是一个n次本原多项式,如果其在 上可约,则可以分解成两个本原多项式的乘积
书上有证明,比较简单
定理2:如果 是一个整系数多项式,则对任意不相同的整数a,b有 (整除)
这个直接由 得到
命题3: 是一个n次整系数多项式,如果其在 个不同的整数点上取得 ,那么它在这些点上的取值只能都是1或者都是-1
证明:假设 在k个点 上取值为1,在t个点 上取值为-1。不妨假设 即 是这些值的最大。
由定理2,知 ,所以 , (理由 )。
如果 , ,推出
只有4个可能,矛盾,得证。
原题目的证明
证明:采用反证法。
不妨设 是本原多项式,由定理1知,存在本原多项式 使得 。
由 在 个整点取值为 , 在这m个点上取值也是 (因为1的因子只有 )
由命题3, 得出 在m个点取值为1或都为-1。
所以 有 个根(或者h + 1),故 (或-1)
得证
命题3可以证明m = 6时也可以,后面多一点讨论即可,这样的话,n = 10,11貌似也是可行的。
举例,我不会,等个大佬