在四维或更高维的空间中，该如何定义转动？ 第1页

　　这个问题非常好，牵扯到了线性子空间的唯一性表达的问题，在这里就给大家分享一下格拉斯曼代数(Grassmann Algebra)中描述的“楔乘”运算的奥秘。

　　这个回答较为冗长，是我用心写的，希望读者们能耐心读完。如果能够完全看懂，你会有很大的收获。

线性代数中的子空间表示

　　作为理工科专业的学生，相信大家都应该在《线性代数》(数学专业的《高等代数》中去掉多项式那一部分)学过线性空间，并且引入了一个很重要的概念——线性子空间。

　　在相关的教材里，n维线性空间V的m维线性子空间S的定义方式，通常是给出m个线性无关的向量 作为基向量，然后通过对它们线性组合得到：

　　然而这样得到的子空间会让人觉得不够完美：如果能找出另一组向量 作为基向量，只要它和 能够互相线性表示(教材上称为“等价基向量组”)，那同样也可以定义V的子空间S。

　　同一个子空间S，居然有那么多种定义方式，判断两组基是否等价也不方便，有没有办法用唯一的一个量定义同一个子空间呢？

楔乘运算的引入

　　幸运的是，数学家确实找到了唯一表示的方法。这里需要引入关于向量的新的运算，称为“楔乘”，用符号“∧”表示，而且它有着很特别的几何意义，即“有向测度”。

　　什么是“测度”呢？你可以理解成“占空”的大小。比如一维测度即是“长度”，它反映了一段线段放在数轴上的占空；二维的测度是“面积”，它反映一个闭合的多边形放在平面坐标系中的占空；三维的测度则是“体积”，它反映了一个闭合多面体放在了三维空间中的占空。

　　而“有向”则是要求测度不仅要有大小，还要有方向。一维的有向测度可以理解成一个向量；二维的有向测度则是多边形不仅有面积，还要有朝向；我们能想象的三维空间中的三维有向测度即是一个可正可负的有符号的体积，当三个向量排列为右手坐标系旋转方向相同时为正，反之为负。

　　对于两个向量α和β，定义它们之间的楔乘α∧β：把这两个向量的起始位置放在一点，用它们作为两边，张成一个平行四边形的“有向测度”。要求它们之间满足性质：

　　这也不难解释，由于平行四边形有正反两面，我们定义一个面的有向测度为正，那它的另一个面的有向测度即为负。

　　对于三个向量α，β和γ，我们也可以定义它们的楔乘α∧β∧γ：把三个向量的起始位置放在一点，用它们作为棱，张成一个平行六面体的“有向测度”。要求它们满足性质：

　　也就是说，只要它们的重新排列是奇排列，那就要加负号，表示有向测度相反；重新排列是偶排列，则有向测度不变。

　　上面的运算可以推广到任意n维空间的任意m维向量，而且要求它们满足“反交换率”，即在楔乘运算中，任意两个向量互换位置，最后的结果要反向。

　　在这个性质的要求下，楔乘运算中只要有任意两个向量平行，它们的结果就变成0，对应的几何意义是平行向量张成的平行四边形，平行六面体或平行超多面体的测度必然是0。

　　楔乘运算还需要满足结合率，可以理解为张成多面体的有向测度与结合方式无关：

　　上面定义的楔乘运算，我们还要求它满足对加法和数乘的线性性质：

　　不难验证，这个线性性质也是几何中有向测度的运算必须满足的条件。利用这个性质，不难验证，在多个向量的楔乘运算中，如果这些个向量线性相关，它们的楔乘结果也会变成0。

　　建议读者牢记楔乘加粗的内容再看后面的推导，因为这些推导需要用到楔乘的这些性质。

子空间的唯一表示

　　有了楔乘运算，我们就可以在n维空间中，通过对m个基向量作楔乘运算来实现它的m维子空间的唯一表示了。我们以四维空间为例，验证用四维空间中的二维子空间的楔乘运算的唯一性。

　　设α和β是四维空间中的两个线性无关的向量，在以α和β为基向量的子空间中，我们任选两个线性无关的向量ξ和η，它们满足：

　　计算ξ与η的楔乘，并利用楔乘运算的性质：

　　由此可见，ξ∧η与α∧β只差一个倍数，因而定义子空间的基向量的楔乘运算在数值倍数的意义下是唯一的。

　　相比用向量组表示线性子空间，楔乘运算有否丢失线性子空间的必要信息呢？

　　利用楔乘的分配率和线性无关的性质，可以证明，如果两个子空间不相同，则它们各自基向量的楔乘也是不同的。因而楔乘运算已经充分表示了子空间的必要信息。

正交基下的楔乘运算

　　在四维空间中，假设有单位正交基向量组 ，利用楔乘运算的性质，计算下面的两个向量的楔乘：

　　其中， 和 是楔乘结果的基，它们的线性组合系数表示出四维空间中的二维子空间的信息。

　　由此可见，四维空间中的二维子空间的有着6个方向分量。不难证明，在n维空间中，用楔乘表示的m维子空间有 个分量。

　　在张量分析和多重线性代数相关的学科中，n维空间中的m个向量的楔乘结果称为n维m阶反对称张量，它们的更多运算及其性质可以参见相关的资料。我们也不妨把这些基向量的楔乘称为“n维m阶反对称基张量”。

正交补运算

　　在三维空间中，假设有正交基向量组，也使用楔乘定义由下面两个向量张成的二维子空间：

　　 由此可见，在三维空间中两个向量的楔乘只有3个分量，如果对三维空间中的2阶反对称基张量定义它的正交补运算：

　　正交补运算也满足线性性质，它的本质就是与一个子空间内的向量都垂直的向量组成的空间。不难发现，三维空间中的“叉积”，本质上即是“楔乘”的正交补：

　　正交补运算也可以拓展到任意的n维m阶反对称基张量，得到的结果是n维n - m阶反对称基张量，例如在二维空间中，正交补运算的定义如下：

　　在四维空间中正交补运算这样定义：

　　不难从中找到规律：单位正交基的一部分向量的楔乘的正交补运算由它的补集楔乘得到，而且原对称张量与它的正交补中的向量的左右组合必须是偶排列。

　　需要特别强调的是，正交补运算都是基于单位正交基定义的，需要先针对单位正交基定义正交补运算，然后才能对一般的基向量定义正交补。

行列式的本质

　　同济大学的《线性代数》被无数网友吐槽为“烂书”，有个重要原因是那本书一开始就讲行列式的计算，完全不讲它的意义，让人觉得就像学文科一样。

　　有了楔乘工具，我们可以找到行列式的几何意义。在n维空间中构造n个向量：

　　其中 是n维空间中的单位正交基。对这些向量做楔乘，并根据楔乘的性质做展开，去掉有相同基向量作契乘的项，再合并同类项，即可得出：

　　注意到 表示n维空间中的一个单位超立方体的测度，而表示由 构成的平行2n超多面体的n维测度。

　　由此可见，行列式的几何意义就是在n维空间中由n个向量构成的平行2n超多面体的n维测度与n单位超多面体的测度比值。

用反射变换定义旋转变换

　　回到题主的问题，很多网友用线性代数里的正交矩阵对“转动”这个线性变换做了说明，这里从另一个角度来看“转动”。在任意维空间中，都可以定义“反射变换”，对应的矩阵为：

　　在上式中， 是一个n×n单位矩阵，u是一个长度为1的n维向量，必须写为列向量，从而确保 也是一个n×n的矩阵。这样F即可实现一个反射变换：把任意向量与u平行的分量反向，而与u垂直的分量保持不变，我们不妨把u称为反射的法向量。

　　我们在日常生活中不难发现：如果两面镜子经过两次反射看一个物体，物体的虚像的虚像会发生旋转，旋转角度恰好是两面镜子夹角的两倍。

　　利用这个关系，我们可以导出三维空间中的旋转变换矩阵，设 是一个三维空间中的单位向量(即 )，则围绕ω旋转角度θ的矩阵可以写为：

四维空间中的旋转

　　在四维空间中，我们也可以利用两次反射来定义旋转变换。设这两次反射对应的法向量分别为 和 ，它们的夹角为θ/2，则 表示的二维子空间中，所有的向量都旋转了角度θ，我们不妨把这个二维子空间称为旋转的赤道平面。

　　我们把赤道平面对应的方向在四维空间中用二阶反对称基向量方向表示为：

　　前面定义了正交补运算，我们不妨把与 表示的二维子空间垂直的二维子空间称为为轴平面，设它对应的二阶反对称张量为：

　　其中 ，根据正交补运算的性质，有：

　　其中c是常数。为了类似于三维空间用单位向量作为轴，选择适当的c，确保四维空间中的轴平面满足：

　　构造一个4×4的反对称矩阵：

　　利用两次反射构造旋转，最终在四维空间中的旋转矩阵为：

　　其中 是4×4单位矩阵，由于这个公式的推导过于繁琐和冗长，故没有写出，有兴趣的读者可以试着自己推导。

总结

　　通过讨论高维线性空间中的子空间表示和旋转变换，我们定义了楔乘，但这里的介绍仅是皮毛。楔乘运算的定义来源于格拉斯曼代数(Grassmann Algebra)，如果大家有兴趣，可以查阅相关的资料寻找它更多的性质。

　　楔乘运算在微分流形，张量分析等前沿几何学科中有着重要应用。我在这些领域中也做过不少研究，是我作为职业科研人员的研究方向的一部分，如果有读者对这些内容有兴趣，欢迎找我讨论。

追更：

　　很多读者会觉得这里定义的楔乘与微分流形教材上的定义完全不一样，甚至找不到共同点。实际上，它们的本质是相同的，我专门在另一个回答中做了说明，希望大家能看懂。

这个公式里的∧符号是什么意思？