如何证明 √2 + √3 + √5 是无理数？ 第1页

√2 是无理数

上初中数学课，在知道无理数后，数域从有理数扩充到了实数。无理数被简单理解成带根号的，开方开不尽的数。实际上，两者的区别为：有理数可以写成两个整数之比，而无理数则不能。

接着，课本上，大家都见识过 √2 是无理数的证明方法。如果忘记了的，我这里再提一下。

假设 √2 是有理数，则可以表达为 p/q 这种既约分数的形式，其中 p 和 q 都是整数，且互质（co-prime），即最大公约数为1。这也是有理数区别于无理数的地方，无理数无法表示成这样的分数。 ，两边平方得到 ，移项有 。右边有2，表明左边是偶数，但只有偶数的平方才能得到偶数，奇数的平方不可能是偶数。所以 p 应为偶数，p = 2r 带入有， ，于是有 ，如法炮制，q也是偶数了，这样就推导出 p 和 q 有公约数 2 了，与最初的假设相矛盾，所以 √2 是无理数。

对于单独的 √3、√5，也是采用这种反证法，只不过不谈奇偶，谈论的是3的倍数、5的倍数。比如，一个整数的平方是3的倍数，则这个整数就是3的倍数。

√2 + √3 是无理数

因为要证明的数涉及到多个平方根，从一个数到两个数的组合，甚至到多个数的组合，都可以采用这种平方的思想来反证。

假设 √2 + √3 是有理数，则 ，两边平方有 。这里借助 有理数 + 无理数 = 无理数，左边是无理数，右边的有理数平方后还是分数，是个有理数，这样推出一个无理数等于一个有理数而矛盾。同样的方法适用于 √3 + √5、√2 + √5。

接下来，你可能会想，证明了√2 + √3、√3 + √5、√2 + √5 三个组合数都是无理数，三个无理数相加，然后除以2，不就是题目的式子 √2 + √3 + √5 吗？这样是不行的，我们没法证明结论 无理数 + 无理数 = 无理数。一个简单的反例是 √2 与 2 - √2。

√2 + √3 + √5 是无理数

那我们假设 √2 + √3 + √5 是有理数，则 ，三个数的平方和，展开如下， ，所以有 ，为了证明三个无理数的组合√2 + √3 + √5 是无理数，结果回到了去证明另三个无理数的和 √6 + √10 + √15 是无理数，显然这条路行不通。以下记 r = p / q 来写等式，r代表有理数（rational）。

移项 ，两边平方有

啊，终于回到两个无理数的环境了，是好的势头，两边接着平方，

这样就足够清晰了，前三项是有理数，最后一项是无理数。需要指明一下——有理数 × 无理数 = 无理数，在有理数不为0的情况下。
推导出一个等式有多个项，除了一个项是无理数，其他项都是有理数的错误地步，从而推翻初始的假设，得证。注意到经过多次（用数学术语讲是有限次）平方后，等式仍为有限项，否则存在“无限个有理数相加减，可能得到无理数”这个结论来捣乱。证明过程当要严谨。

有理数、无理数运算总结

有理数 + 有理数 = 有理数
有理数 + 无理数 = 无理数
无理数 + 无理数 = 不确定
无穷个有理数相加，不确定
无穷个无理数相加，不确定（这个可归为上上一条）

有理数 x 有理数 = 有理数
非0有理数 × 无理数 = 无理数
无理数 × 无理数 = 不确定

这些结论都很基本，上面没有给出证明，这里稍微提一下。两个有理数 p1 / q1，p2 / q2 的和为 ，很显然，分子分母均为整数，所以两者的和为有理数。这个证明不用反证法。自然也有，有理数 - 有理数 = 有理数。

有理数 + 无理数 = 无理数。这个可以通过反证法。假设 有理数1 + 无理数 = 有理数2，通过移项，无理数 = 有理数1 - 有理数2，得到 无理数 = 有理数 的矛盾结论，所以原假设不成立。

有限到无穷，有理到无理

从有限到无穷，有些不同。无穷个有理数相加，不一定就是有理数。乍看有点反直觉，可以看一看上面总结里的链接。至于无穷个无理数相加得到有理数，我们用大家熟悉的指数函数的 Taylor 级数展开公式 举个例子。

无理数化为无穷个有理数相加： ，

有理数化为无穷个无理数相加： ，

arctan x 的 Taylor 级数展开为 ，带入 arctan(1) = π/4，可以得到求圆周率 π 的一个漂亮但收敛速度慢的公式 ，左边是无理数，右边都是有理数。两边同时除以 π，得到左边是有理数，右边都是无理数 ，这是无理数与有理数相互转化很贴切的两个例子。

π 是无理数

关于 π，Lambert（对，就是那个，图形学里提出 Lambert 光照模型的那个人）在1761年证明了 π 是无理数^[1]，通过 sin(x) 与 cos(x) 的无穷级数的除法，证明了 tan(x) 的无穷尽长度的连分数（Continued fraction）表示等式 。接着证明了 x 为非零有理数时，该表达式必为无理数。命题与逆否命题同真假。于是，表达式结果为有理数时，x 必为无理数。该结论带入 tan(π/4) = 1，得到 π/4 必为无理数，从而 π 是无理数得证。一图以蔽之——

回到文章开头，可以用整数之比，即分数的形式来区分有理数和无理数。对于级联形式的分数，即上面提到的连分数，又有很多有趣的数学知识了。对于有理数，它是有限长度的连分数；对于无理数，它是无限逼近的。

1. ^Proof that π is irrational https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational

这种问题有一个通用办法。

1.首先这玩意是实数。

2.其次，它是 上的代数元，可以算出来它的一个零化多项式。

3.分析发现，零化多项式大于一次并且在 上不可约，所以它不是有理数，所以是无理数。