是否存在不可数个实数，其中任意有限多个在有理数上线性无关？ 第1页
1
lljpcz 网友的相关建议:
高代上讲的线性无关，一般是指有限个向量线性无关。
如果要讨论无限个向量线性无关，就需要定义广义线性无关集，这里广义线性无关的定义就和你题目中提出的一样，即
我们称一个向量集（可以有无穷个元素）是广义线性无关集，当且仅当它的每一个有限元素子集是线性无关集。
在不引起混淆的情况下，我们可以将“广义”省去。
利用这里的广义线性无关的定义，就可以定义广义基，即Hamel基。即一个向量集里的每个元素都可以被唯一的表示成其Hamel基中有限个元素的线性组合。
在这个意义上，我们可以证明以下命题是选择公理的充要条件:
任何一个向量集都有Hamel基。
必要性很好证明，利用Zorn引理，模仿一下另外一位答主的作答即可。
充分性据说不容易？我贴个链接http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf
最后，如果要说明实数在有理数域上的任意一组Hamel基都是符合要求的集合，只需要再说明这组基不可数。
反设它可数，那么全体实数可以可列个元素的某个有限子集的有理线性组合表示出，这意味着实数可数，产生了矛盾。
1
相关话题
数学分析中的习题能否在考研中当作定理直接使用？如果函数是一种法则，那它为什么有最大值、极限，还能相加减等等？
竞赛难度，这道数列题应该如何解决？
怎么用下面的不等式刻画凸性？
这个多元积分不等式怎么证？
这个极限怎么凑成积分?
如何反驳此人证明0.9循环不为1？
如何思考这道定积分不等式？
请教如何计算这个反常积分？
为什么函数的解被称为「根」？
前一个讨论
一个一般的二次型等于0，这个方程应该如何求通解？
相关的话题
如何评价国科大非数专业使用卓里奇和代数学引论？这样的极限应该怎么去求解？
如何证明这个由Abel定理得到的结论？
请问这个积分怎么做？
一个函数的不定积分存在有哪些必要条件或者充分条件？
请问各位大佬这道积分怎么求？
这个定积分如何求解？
怎么算这两题的敛散性？遇到这种题，步骤是什么。谢谢(*°∀°)=3?
所有正方形的数量与所有长方形的数量相等吗？
请问 e^π 和 π^e 哪个大？
这个证明该怎么做？
请问 这道微积分题怎么做？
3³+4³+5³=6³，只是个巧合吗?
能写出一个趋于根号2的有理数数列的初等函数通项公式吗？
有哪些神奇的级数求和？
什么是半微分（semi-differential）？有什么几何意义吗？
如何证明这个实分析有关问题？
无穷维流形是什么意思？
实数轴上还存在人类未知的数吗？
有理数的开方，是否能取遍实数？ 换句话说，是否存在无理数，不是某有理数的开方？
请问这个多重积分的极限怎么求?
作为一名非数学专业（电子工程，物理）的学生，怎么样让自己的水平达到介于数学专业以及非数学专业的水平？
请问如何证明该极限？
如何直观地解释「紧致性」？
既然一条直线的面积是零，那么一个由无数条线组成的几何图形为什么会有面积？
如何求这两个极限？
如何推导以下几种连分数表示？
如何证明任何一复系数整式p(z)都可以分解成若干个(z-c)相乘的形式？
请问应如何证明？
如何证明内积形式的施瓦茨不等式？