是否存在不可数个实数，其中任意有限多个在有理数上线性无关？ 第1页
1
lljpcz 网友的相关建议:
高代上讲的线性无关，一般是指有限个向量线性无关。
如果要讨论无限个向量线性无关，就需要定义广义线性无关集，这里广义线性无关的定义就和你题目中提出的一样，即
我们称一个向量集（可以有无穷个元素）是广义线性无关集，当且仅当它的每一个有限元素子集是线性无关集。
在不引起混淆的情况下，我们可以将“广义”省去。
利用这里的广义线性无关的定义，就可以定义广义基，即Hamel基。即一个向量集里的每个元素都可以被唯一的表示成其Hamel基中有限个元素的线性组合。
在这个意义上，我们可以证明以下命题是选择公理的充要条件:
任何一个向量集都有Hamel基。
必要性很好证明，利用Zorn引理，模仿一下另外一位答主的作答即可。
充分性据说不容易？我贴个链接http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf
最后，如果要说明实数在有理数域上的任意一组Hamel基都是符合要求的集合，只需要再说明这组基不可数。
反设它可数，那么全体实数可以可列个元素的某个有限子集的有理线性组合表示出，这意味着实数可数，产生了矛盾。
1
相关话题
如何证明魏尔斯特拉斯函数处处不可导？如何理解区间 [0, 1] 内有理数集合的长度为 0？
在集合论里，对于二元公式φ，如何证明(任意X)(存在{x∈X：φ(x,X)})？
怎么证明算术平均数大于等于几何平均数？
这道证明题该怎么做？
如何反驳此人证明0.9循环不为1？
选择公理有哪些反直觉的应用？
有没有大神回答一下，级数中，比值判别法中的ρ是指什么？
无理数是否真的存在？
数学的泛函分析应该怎么学？
前一个讨论
一个一般的二次型等于0，这个方程应该如何求通解？
相关的话题
底下那步怎么转化的啊 是忽略了吗?实数中乘法不是加法的复合么？为什么乘法与加法并列提及？
无穷维流形是什么意思？
实数中乘法不是加法的复合么？为什么乘法与加法并列提及？
为什么不可数个互不相同的集合之并集可以是可数集?
下面这个积分不等式证明有什么好的方法？
全体自然数的发散级数和等于负十二分之一代表了什么？隐藏了一个天大的秘密吗？
如何看待美国学者称经济学用了错误版本的微积分？
如何思考这道定积分证明题？
请问泰勒公式的几何意义是什么？
请问这道重积分的题如何做？
一个数介于 2 和 3 之间，那么它为无理数和有理数的概率分别为多少？
一个积分不等式，该怎么处理？
是否存在仅由1和2组成的长度为2^n的序列，可以做到在这个序列中取出所有含1和2的长度为n的序列？
如何计算函数 f(x)=log(x)/x 的 n 阶导数？
已知一个函数在实数域内连续，并且为周期函数，如何证明它在实数域内一致连续？
为什么现代数学经常会关心整体性质？能不能举例详细说说？
有哪些少见却实用的求积分的经验技巧？
阿贝尔变换强大在哪里？
导数 dy/dx 是不是一个整体符号？
小数点后可以有无数位，为什么两个物体仍可以相互接触？
如何证明下面的关于调和函数的问题？
任意 ε＞0，a≤b＋ε 是否可推出 a≤b？
这个定理请问有人会证明吗？
数学分析等等，定义定理证明看得懂，但课后习题几乎一道都做不上来，即便憋几个小时，我到底哪里出了问题？
波恩哈德·黎曼这个人有多强？
有限正函数，在任意区间里可测且勒贝格积分无限的函数怎么构造？
收敛的有理系数幂级数个数可数么？
目前最小的级数形式的无穷大是多少？
cotx是周期函数吗？