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不知道想下面描述的一样理解数列极限和收敛对不对,有什么需要改进的地方吗? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

谢邀。

题主所说的是两套标准,但是有点混乱。


•狭义的收敛观

即,数列极限必须是有限实数,才是收敛。有多个聚点,或趋于无穷,都被称作发散。

•广义的收敛观

就是以狭义的收敛观为基础,把趋于无穷的数列也视为“收敛的”,但注意此时的数列很有可能不是柯西列(例如1,2,3,…)。广义的收敛观需要两个观念支撑:

  1. 扩充实数集,引入无穷元素,即

也就是将 ∞ 与有限实数视为平等,都是R*中的元素。


2 . 柯西判别法既然不能包容“新家伙”,那就得建立更具包容性的收敛性定义。这个观点实际上是拓扑的观点:

如果一个无穷序列在某一点的任意邻域外,只有有限多项,那么就称这个序列收敛于该点。

这下,就像1, 2, 3, …这样的序列,在 + ∞ 的邻域[ N, + ∞ ]外,永远只有有限多项(不超过N项,或者只有0项),而[ N, + ∞ ]内却总有无穷多项。


但是一般情况下,如无特殊说明,我们默认的还是狭义的收敛观。




  

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