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既然勒贝格积分是黎曼积分的改进,那为什么还要学黎曼积分?淘汰黎曼积分,直接学勒贝格积分不好吗? 第1页

  

user avatar   ling-jian-94 网友的相关建议: 
      

你以为测度论那么好学的……


user avatar   2718281828459045 网友的相关建议: 
      

的一般程度的数学专业学生,在一年级时将会学习以下几种积分:

  1. 函数 在闭区间 上的积分;
  2. 函数 在任何类型区间 上的广义积分。

其中,广义积分实质上是闭区间上积分的极限过程。如:

我们再来谈一下 积分与(广义) 积分的不同。从接下来的讨论在即可看出:积分在适当的情况下有其重要作用,不能将其视为毫无价值的一种积分。

  1. 积分可以在可测集上进行。相比之下,(广义) 积分的积分区域却只能是区间。在这一点上, 积分比 积分更优。所以,我们接下来主要观察在闭区间上 积分和(广义) 积分的不同。
  2. 对于 在闭区间 上有界的情形,完全可以用 积分来取代 积分. 这是因为以下的定理。

定理( 设 ,则 ,且成立

3. 对于 在闭区间 上可测的一般情形(可能无界),不能贸然用 积分来取代 积分。这是因为以下定理。

定理 设 在 上广义 可积。则 在 上广义 可积. 且两种意义下的积分值相等。

所以,这种情况下的 积分不能涵盖在广义 可积下条件收敛的情况。事实上,若积分 在广义 可积下条件收敛,则有

4. 对于 在无穷区间 上可测的情形,仍然不能贸然用 积分来取代 积分。事实上,有以下类似的定理。

定理 设 在 上广义 可积。则 在 上广义 可积.

4. 对于 在测度有限的可测集 上非负且可测的情形,完全可以用 积分来取代 积分,并且不会出现积分不确定的情形。这是由这种情况下 积分的定义所决定的:

其中, .


本文作者:漩涡鸡蛋饼 @12345




  

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