是否存在无理点不连续、有理点连续的函数？ 第1页

不存在。但是解释起来稍稍有点复杂，需要用到点集的语言。

以下说的“函数”都是指把实数映射成实数的函数。高维空间中的函数同理。

学过微积分就会知道，有一个被称为黎曼函数的奇妙函数 它在无理点连续、有理点间断。这里的关键原因是，对于任何 满足 的 只有有限个。类似地，任意给定可数个点，可以构造一个函数，它仅在这可数个点不连续。

但是，满足“无理点不连续，有理点连续”的函数是不存在的，因为：（1）函数的连续点全体构成 型集(即可数个开集的交集)。（2）有理数集 不是 型集。下面证明这两件事。

（1）对于给定的函数 定义它的振幅

则 在点 连续等价于 所以 的连续点全体为

不妨设它非空，因为空集显然是 型集。要证这个非空的集合是 型集，只要证任意 集合 是开集。显然 非空。

任意 因为 故存在 和 使

对于一切 存在 使 所以

故 即 由 的任意性，

所以 是 的内点。因此 是开集。

（2）假设有理数集是 型集，则无理数集是 型集，换言之， 这里的每一个 都是闭集。又因为有理数集是可数的，设 如此，

因为每一个 都是闭集，且 所以 没有内点，即 是疏朗集。而单点集 也是疏朗集，所以实数 是疏朗集的可数并，即第一纲集。这与Baire纲定理矛盾！

所以有理数集 不是 型集。