0到1之间所有有理数之和 ，和1到2之间的有理数之和，哪个大？ 第1页

这其实是一个好问题. 学数学的人千万不要让严格性局限住自己. 逻辑是数学最鲜明的特点，但也是数学研究中最不重要的事情. “所有人的老师”Euler当年就是靠着对发散级数的大胆计算创立了 的理论，在Cauchy、Dirichlet、Riemann等等也是最优秀的数学家的一百多年的工作之下才变成了严格的理论. 这样的例子在数学史上数不胜数. 学数学最重要的事情就是要培养对正确的、美的事物的鉴赏力，而不是像个形式证明系统那样ex falso quodlibet.

回到题主的问题. 我们效仿Euler，在求和中引入一个参数. 先来求 上的有理数的和. 记

通过一些比较简单的估计可以证明当 时上面的级数绝对收敛，从而在半平面 上定义了全纯函数. 形式上，如果取 ，就得到了题主想要的和. 而当 时，

因此 . 可以延拓为全平面上的亚纯函数，只在 有一个单极点； 可以延拓为全平面上的亚纯函数.

类似地，令

则在半平面 上有 . 如果把 代进去， 就有 .

在一种非常瞎搞的意义下，我们就这么算出了 和 之间的有理数的和. 看上去也非常的合理，因为 之间的有理数的和比 之间的有理数的和要大. 当然，并非所有的直觉都可以变成对的，比如说从第一个和里减掉 ，从第二个和里面减掉 ，就会得到 之间的有理数之和大于 之间的有理数之和，两个和还都是负的.

如果这个问题激发了你的兴趣，可以思考一下：

1. 如果用别的方式在求和中加入参数会怎么样？

2. Euler关于 的函数方程的“推导”过程（减去一些项变成交错级数再用Abel求和）用的技术能不能用在这里？

推荐阅读：

Haruzo Hida. Elementary theory of L-functions and Eisenstein series. London Math. Soc. Student Texts 26. Cambridge University Press, second edition, 1993

一般来说级数 的值要么是一个有限数，要么是 ，要么不存在。对于非负的级数来说结果只有有限数或者 。

设 为把 中的有理数排成一列得到的数列。根据有理数的稠密性，存在 的子列 使得 。这时候容易证明 ，从而 。同理可以得到另一个和也是 ，所以这两个结果一样。

我稍微补充一下。扩展实数集是指实数集与“正，负无穷大” 的并集， 。 比有限数都大， 比有限数都小。可以定义 之间已经它们与通常实数运算的结果(有些运算无法定义)。这样的对实数集合的扩张通常叫做紧化。我这个回答是基于通常的级数定义，在扩展实数集里面讨论得到的结果。如果你的或者别的答主的结果不是在这个范围内讨论，那就是两个无关的回答。

这个问题很有趣，但是问法不太对。

这两个数列之和显然是发散的，无论在何种意义下，问“哪个大”都是错误的。

不如换一种问法，

0到1之间所有有理数之和，与1到2之间的有理数之和的比值是多少？

有一种取巧的解法：

其中 是0到1之间的有理数。注意到，对于任何一个 ， 也是0到1之间的有理数。

那么：

所以：

那么我们要求的比值也就是 。

这种方法看起来很舒服，很直观。

当然，错得离谱。

事实上，两个区间内的有理数之和的比值，可以为任意值（若可重排），或者说不存在（若不可重排）。

不想看证明的，或者没有高等数学基础的同学可以点赞离开了。

虽然不知道正确答案，至少学到了一个错误的做法，也是有益的。以后有人拿这种方式装比，你也可以打他的脸。

有基础，并且想要看证明的，请继续往下翻。

0到1之间所有有理数之和，和1到2之间的有理数之和的比值极限是多少？

这种问法的前提在于，一个区间内的有理数可以排成一个数列，否则这个问题依然不对。

当然我们知道，所有的有理数都可以用对角线法排成一个数列，一个区间内的当然可以排序。

那么设0到1之间的有理数数列有任意一种排法：

其中，

那么原问题就变成了：

注意，这里 和 是两个不一定相同的数列，他们虽然都是0到1范围内的有理数，但排列不一定相同。

那么对任意的排列，该极限存在吗？

因为这是一般情况下我们想要的“好性质”，所以我们尝试考查这个问题。

如果重排列真的不影响，那么原式等于：

所以，我们直接考查这个极限：

这个和式，通俗来说就是0到1所有有理数之和除以他们的“个数”的极限。

该和式收敛吗？

再次注意，这里问的是对任意的排列，该和式是否收敛。

回归极限存在最根本的定义：

直观的想，不管 取多少，我总可以在大于 的数项上取到任意多接近于1的 ，使得和式超过 和 限制的范围。

于是，我们尝试证明这个极限不存在。极限不存在的命题就是极限存在的反命题。

写出反命题的小技巧：把存在改成任意，任意改成存在，小于改成大于等于即可。

那么极限不存在的命题就成了：

证明这个命题很简单：

首先，如果 ，在 的时候，我们只需要始终取足够多的 之内的有理数出来，就能满足上面的命题。

而任意一个区间内都有任意多个有理数，所以可以这么取。

（很显然，和式 的极限不可能为大于等于1的数。）

所以，只需考查 的情况。

如果和式 ，则 就是命题中的那个使得和式超出这个范围的，极限就不存在。

如果 ，那么找到一个 ，因为数列 是任意排列的，总能找到 个有理数，使得他们不等于前面的 个有理数，并且每个有理数都大于 ：

其中 ，还是那句话，区间 之内总有任意多个有理数。

那么这个和式可以写成：

注意到原命题当中， 是我们可以取的，但是在 之前，所以 的表达式不能包含 。

而 和 在 之后，所以他们的表达式可以包含。

所以，我们取：

即可满足：

也就是说，存在 ，使得对于任意 ，和式的值超过了极限区间。

这样，我们就证明了和式的极限不存在。

根据黎曼重排定理，这个和式实际上可以等于0到1之间的任意值。（证明留作习题）

所以，0到1之间所有有理数之和，与1到2之间的有理数之和，比值为：

显然，这个比值可以为任意大于1的正实数。证毕。

课后习题答案来了啊。

原答案主要在于阐述我们的思考方式，从考虑两个和式的比值，到考察极限是否存在，再到证明极限不存在。

有一些不够严谨的地方，比如区间的方括号圆括号可能搞错了，下标可能哪里写错了，我也不打算检查了，大家能看懂思路就行。

嗯，还有最后说什么黎曼重排定理，只是我一点直觉。今天事后一想，感觉完全用不着这个定理，证明能够收敛到任意实数也是很简单的。

事实上，如果我们知道这个结论，一开始就可以直接证明，对于任意的0到1之间的值，都存在一个0到1之间所有有理数构成的数列，其前 项平均值的极限等于这个值。

还是写成命题：

现在我们开始构造 这个数列。

考虑区间：

其中：

这样能够保证这个区间还在0到1之间。

现在我们构造另外两个有理数序列：

和 ，他们满足：

是区间 内的所有有理数构成的数列， 是区间 内的所有有理数构成的数列，并且 ；

然后， ，（补集），是区间 的其他所有有理数构成的一个数列。

这里我们假设 是有理数，需要补充一个 放在最前面。

（如果是无理数，加一个小量逼近应该就行，具体不详细展开了）

这样，我们的 和 就包括了所有0到1之间的有理数。

那么我们令：

也就是说，每放一个 ，就跟 个 ，然后才放下一个 ；

这个数列的前 项平均值的极限等于 还是很容易证明的，这里我就略去了。

至于 取到0或者1的情况，也应该有相应的数列，也一并交给读者思考。

有人可能要问，比如 ，我们就构造这个数列：

这个数列确实能收敛到 ，每个数也都是有理数，但是，这种方式的错误在于，这个数列并没有包括所有的有理数。

你不能这样说：我的其他有理数在这无限个数之后，因为这样说是不严谨的。

根据数学上的定义，一个数存在于一个数列当中，就是要把它在哪个位置说清楚，比如 这个有理数，你必须说清楚它在第几个，而不是“第无限个”。

这就好比贴吧上的经典钓鱼问题， 0.9循环和1哪个大，有人说1减去0.9循环等于0.000...1，为什么是错的，就是因为他说不清楚最后这个1在哪一位上。

（这也是为什么实数集不能列出一个数列。康托尔证明了，你不可能找到一种方式说清楚每一个实数在第几位，因为总能生成一个你无法定位的实数）

而在答主之前构造的数列中，每一个有理数都是能够找到对应位置的。这种方式的主要思想在于把 邻域之外的所有数，稀疏的分散在数列当中，使得他们不能影响数列平均值的极限。

这个问题本身差不多到这就结束了。有以下几点感想和思考：

一、无限个数的排序方式很重要，排序不同，与之相关的极限就可能不同。。

二、无限带来了很多反直觉的结论，比如之前知乎上有个很火的问题，为什么无穷小乘以无穷小有可能等于无穷大？

三、回到定义。证明一切命题，都请写出最基本的定义，一定不要空对空，否则与民科无异。

标准答案：一样大，都是正无穷，且基数都为阿列夫零。

抢答：0到1之间的所有有理数和，和数轴上的所有有理数和，也是一样大，也都是正无穷，基数也都是阿列夫零。

无穷比大小详见下文第三段：

不过我不会贴一个旧文链接就跑了的，讲点新东西，长话短说。

可能有些人还惦记着之前火过的“全体自然数和为负十二分之一”的事。

显然，在一般意义上，发散级数是没有求和结果的。你可以回想一下，高中的无穷等比数列求和，只有公比绝对值小于1的时候才有计算公式S=a1/(1-q)，因为此时它的结果是收敛的。

那么这个全体自然数求和怎么会有结果？

简单来说就是因为数学家在求和的定义上动了手脚，此求和非彼求和，这种情况下所有自然数求和才是负十二分之一。

那么问题来了，强行定义求和方式，让发散级数求和有解，是数学家吃饱了饭没事做吗？

答：数学家的工作是否有意义，物理学家最有发言权。

事实上，如今的前沿物理学非常需要把握无穷量的运算，曾经那样虚幻的无穷符号是没有办法推动科学进步的，所以让发散无穷级数求和有结果非常重要——这个结果具体是几没关系，但必须要有一个定值，而不是一个无穷符号可以糊弄的（因为无穷符号严格来说不属于数学的系统符号，这一点我以后在哥德尔不完备可能会讲解）。

惊人的是，把自然数和等于负十二分之一代入运算，的确符合量子层面的实验观测结果。

我相信，就算你再讨厌物理数学，也不可能不好奇量子力学，你一定听过薛定谔的猫，并为它感到神奇。

对于未来人来说，21世纪就是古代，21世纪人眼里荒唐的东西，在未来一定是常识。

这就是数学家得出自然数求和结果为负十二分之一的意义了。

（以上内容，想深入了解的自行检索关键词：黎曼ζ函数、解析延拓、复分析、量子力学、弦理论）

如果物理是描述世界的一种语言，那么数学就是它的一种语法。

语法脱胎于语言，也可以脱离语言发展，但孤立发展的语法是没有意义的，必须要回到语言的应用才行。

数学也是一样，它首先来自于物理，但它也可以有独立的生命力，而且开枝散叶无拘无束，但是它生命的意义并不在于自己疯狂繁殖，而是要给物理学提供养分。

这样一想，诺贝尔没有数学奖是对的。

就好像你游戏打得好你爸妈不会高兴，但你打电竞赢了几百万你爸妈能吹一辈子。