是否存在不可数个实数，其中任意有限多个在有理数上线性无关？ 第1页
1
lljpcz 网友的相关建议:
高代上讲的线性无关，一般是指有限个向量线性无关。
如果要讨论无限个向量线性无关，就需要定义广义线性无关集，这里广义线性无关的定义就和你题目中提出的一样，即
我们称一个向量集（可以有无穷个元素）是广义线性无关集，当且仅当它的每一个有限元素子集是线性无关集。
在不引起混淆的情况下，我们可以将“广义”省去。
利用这里的广义线性无关的定义，就可以定义广义基，即Hamel基。即一个向量集里的每个元素都可以被唯一的表示成其Hamel基中有限个元素的线性组合。
在这个意义上，我们可以证明以下命题是选择公理的充要条件:
任何一个向量集都有Hamel基。
必要性很好证明，利用Zorn引理，模仿一下另外一位答主的作答即可。
充分性据说不容易？我贴个链接http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf
最后，如果要说明实数在有理数域上的任意一组Hamel基都是符合要求的集合，只需要再说明这组基不可数。
反设它可数，那么全体实数可以可列个元素的某个有限子集的有理线性组合表示出，这意味着实数可数，产生了矛盾。
1
相关话题
阿贝尔变换强大在哪里？如何证明封闭曲线面积的参数积分公式？
如何推导如下积分列极限?
学数学分析（高级微积分）需要看哪些书?
如何推导以下几种连分数表示？
如何看待「搞积」这种现象？
请问这个积分的题目应该怎么证明？
格林公式教材上的证明是否存在漏洞？
如何证明 e^π＞23？
怎样才能快速学会数学分析？
前一个讨论
一个一般的二次型等于0，这个方程应该如何求通解？
相关的话题
这些无穷乘积展开式怎么证明?实变函数鲁津定理的疑问？
实系数多项式之所有根为实数，如何证明其相应 n 阶导数之所有根为实数？
如何去构造一个酉矩阵？
能解释一下这些公式吗?
在微积分教材一开始直接引入 epsilon-delta 语言是否有利？
f(x)[x是向量]满足什么性质的时候才能使得f(x)＝c的一边是f(x)＞c，另一边是f(x)<c？
数学大牛是怎么看待悖论和无穷的？
数学分析中的习题能否在考研中当作定理直接使用？
无限循环小数的循环节长度是否可以取任意正整数值？如果可以，不同循环节长度的无限循环小数是否均匀分布？
请问各位大佬这道积分怎么求？
这个实变函数题怎么分析）？
为什么不能简单将集合E的【上确界】定义成由E的所有上界组成之集的最小元？
如何证明n是2的幂?
这个题如何证?
什么样的初等函数的不定积分不能用初等函数表示？
这道题如何用柯西审敛准则证明收敛?
高等数学中 ϵ 和 ε 哪种字体更常用于刻画极限？
HoTT为什么不比集合论弱?
这个反常积分的发散如何证明?
如何简明地解释曲率（curvature）？
准大一新生如何学好数学分析？
如何严格证明下面这个不等式？
如何证明下面的关于调和函数的问题？
如何证明下面的积分不等式？
这几个不等式如何证明?
为什么有理数是不完备的？
在三维空间单位球上放置n个完全一样的点电荷，怎样放置电势能最低？
fx在R上连续可微，limf‘x=c，且f(x+1)-f(x)=f’(x) 如何证明f’x恒等于c?
一个积分不等式，该怎么处理？