数学学习或研究中，你见过哪些有意思的反例？ 第1页

正好我这里有个你绝对没在书上看到过的神奇反例, 记录了这个故事的书还没出版呢.

2014 年约翰·康威提出了一个有趣的猜想:

任意一个数, 作因式分解, 把次幂放下来, 如此循环, 一定能得到一个素数!

你要不知道康威是谁就有点 out 了.

发明了生命游戏, 发明了用来表示大数康威链式箭号表示法，发明了用来研究纽结理论的康威多项式, 还有 4m+2型幻方的康威构造, 提出康威外观数列, 诸如此类的就是他

趣味数学大师 John Horton Conway.

这个问题是有奖金的, 康威会给解决这个问题的人 $1000 的奖励

当然数学问题一向是钱表心意, 荣誉才是大头, 早在16世纪便是如此

这个迭代有时候会增大到非常大才终止, 而且数列也不是单调递增的.

作为一个程序员, 你肯定会马上写个程序跑一遍.

                next                   =                   ToExpression         @         StringRiffle         [         DeleteCases         [         Flatten         @         FactorInteger         [         #         ],                   1         ],                   ""         ]         &         ;                            factor         [         digit_         ]                   :=                   If         [         PrimeQ         @         digit         ,                             Style         [         ToString         [         digit         ]                   <>                   " is a prime!"         ,                   Blue         ],                             digit                   ==                   CenterDot                   @@                   Apply         [         Superscript         ,                   FactorInteger         [         digit         ]                   /.                   {         1                   ->                   ""         },                   {         1         }]                            ]                            First                   /@                   Select         [         test         ,                   Length         @         #                   ==                   25         &         ]                            factor                   /@                   NestWhileList         [         next         ,                   124         ,                   !         PrimeQ         [         #         ]         &         ,                   1         ,                   36                   -                   1         ]                   //                   TableForm            

你很快就会找到一些可能的反例, 比如 20 105 225 299 之类的

康威当然不是不懂计算机, 他的本意就是让你证明或者证否:

这些数字到底是需要的迭代次数实在太长还是真的不会终止.

这个问题非常的困难, 远超计算机所能验算的范围.

判定素数不难, 但是因式分解就极端的困难了.

因式分解虽说不是数值大的一定难, 但总体上还是正相关的

一般70次迭代以后所有的因式分解算法都趴下了, 接下来都看脸

6489需要 84 次迭代,3305 需要 89 次迭代, 1099需要92次迭代

有些没有收敛的还卡在六十多次迭代的因式分解上

我们来比较下其他的验证项目

196 回文数猜想已经进行了大约两亿四千六百万次迭代

3x+1数字黑洞已经验证了 11 2589 9906 8426 2400 以下的所有数字

相比之下位数不过上百, 迭代次数不过几十次的康威猜想现在下推断也太可笑了

Conway 今年已经 80 多岁了, 他也不指望自己提出的问题有生之年能有眉目

是有眉目...不是被解决

数字黑洞, 当今没有任何的数学理论能有效地处理这类问题.

But wait.........还有一种可能性...

还有一种永不终结的迭代方式: 那就是陷入循环

反例就这样突兀的到来了

一位叫 James Davis 的小伙子发现了这个:

我还能说什么呢, 这反例简直有毒....

这个问题的主要进展记录在 A195264 - OEIS, 除此之外的其他循环点是否存在还是个谜

OEIS 上有很多悬而未决的问题, 那是远离数学主流的孤岛, 没事干看看里面的评论, 总能发现许多神奇的故事.

这个函数非常奇怪，全数域连续、可导、甚至是光滑。

但是，但是在零点处泰勒展开，结果是：

f(x)=0+0x+0x^2+0x^3+…

简而言之就是不能泰勒展开，用于说明：

全数域有定义且不发散的光滑函数不一定可以泰勒展开。（即泰勒展开半径可以为0）

刚学到多元微分学，再更新一个

即便多元函数在某点的任意方向的方向导数存在，函数在该点依旧可能不连续。

有例：

， ，在点 处，其方向导数为

故其在 处任意方向的方向导数均存在。然而易知 极限不存在。

开学了, 更新一个.

对于在 上二阶可导的函数 , 即使 存在且有限, 也不能推出 (趋于负无穷亦然).

有反例 , 其导函数为 , 不存在.

感谢评论区补充，这个例子如果再加上

这个条件，那么就得到 的一个充分条件。我自己写了一个证明如下：

若 ，则 于 上为一常数，从而结论是显然的。

因此不妨 。

首先记 。

若 极限存在且有限，易知必有 成立。（否则由拉格朗日中值定理，容易导出 不存在）

若 极限不存在或极限趋于正（或负）无穷，我们证这是不可能的。我们依是否存在 ，使得 在 上有界，进行分类讨论：

若 在任意 上无界，不妨设

（即不妨设 无上界）

故必存在数列

由数列极限定义， 。

现取定一个 ，从而也得到一个固定的 。

注意到 ，从而

对于 ，由极限的定义，

，从而 。

然而对于任意的 ，虽然 ，但是

这与 的定义相矛盾。

若存在 ，使得 在 上有界，记 。由假设， 极限不存在，而因为有界，故必存在两个数列 ，有 ，且

。

二者中至少有一个不等于零，不妨设该不等于零的数大于零，从而不妨 。

由极限定义，易知

。

记 ，余下证明与 无界的情形的后半部分并无二致。

后记：这一结论有一个等价的变形，即将补充的条件改为

，依旧能得到 。事实上，由 极限存在且有限结合该条件，便可以推得原来的条件，即 充分大时 有界。这里不再展开。（提示：推 有界。）

对于一个函数 , 即使 ,都有 ,

也不一定有 .

事实上, 即便 是连续的, 也得不到 的结论; 只有 当 是一致连续的时候才能推出 .

有连续的反例 ,

虽然对于

有, 当 时, ;

当 时, .

从而 成立.

但是对于数列 ,有

,

因此 .

我来给 @sammy711 的答案做一个简洁的证明。

原答案给出的式子是这样的：

为了证明简洁，我把被积函数中所有的 换成 ，这相当于把函数在水平方向上缩小了到原来的 ，故积分值也缩小到原来的 。再把积分下限换成 ，由于被积函数均为偶函数，所以积分值翻倍。记 ，则这一系列式子就变成了：

看到满眼的 函数，自然想到了大杀器 —— 傅里叶变换！

采用如下的傅里叶变换定义：

则

所以式子的左边就是 函数连乘后，其傅里叶变换在 0 处的值。

而连乘的傅里叶变换，等于傅里叶变换的卷积。

的傅里叶变换为 ，这是一个关于纵轴对称、宽度为 、高度为 的矩形脉冲。

最后一式的左边，就是要计算下面这 8 个矩形脉冲的卷积在 0 处的值：

我们把最矮、最胖的那个矩形脉冲 先放在一边，先算剩下那 7 个矩形脉冲的卷积。

这些脉冲的面积都是 1；它们及它们卷积的中间结果，宽度都是有限的。

卷积有如下的两个性质（证明留给读者）：

• 两个宽度有限信号的卷积，结果宽度也有限，且等于两个信号的宽度之和；
• 两个信号的卷积结果的面积，等于两个信号各自面积之积。

7 个脉冲的卷积结果（称之为 吧）大概长这样：

虽然从图上看起来不明显，但 的宽度 ，而面积等于 1。

最后，要把 与 再卷积，并取 0 点处的值。这相当于求 在区间 上的积分。

很不幸， 有一小部分伸到了区间 之外，所以积分结果就略小于 1 了。

具体小了多少，计算起来会很麻烦，就略了。

如果排除掉 ，那么 的宽度 就会小于 1，完全处于区间 之内，最终结果就等于 1 了。