菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》中绪论中关于实数强稠密性的定理怎么理解？ 第1页
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ling-jian-94 网友的相关建议:
基本上来说是阿基米德性的应用，所谓阿基米德性最简单的描述是：对于任意正实数c，存在一个正整数n，使得。如果实数公理选择戴德金分割等几个公理，则可以从中证明出这个性质。比如说用戴德金公理，取，这个整数集合有上界，从而有最大元，取最大元 + 1就是要求的整数。
进一步，满足的整数有最小元，所以一定存在一个整数n，使得：
我们接下来就用这个性质
回到原题，首先证明存在一个有理数，也就是说要找到
也就是
我们希望取一个合适的m，使得中间至少有一个整数，那么只需要让就可以了
根据阿基米德性，存在一个m，使得，此时有
这时我们再用第二次阿基米德性，根据前面的推论，存在n，使得
根据左半边不等式有
因此有
也就是
那么至少存在一个有理数。
接下来，由于有理数也是实数，设上有有理数，而上有有理数，依次类推，由数学归纳法得到有无穷多个有理数
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