解方程的实质意义是什么？ 第1页

上式是方程组最一般的形式. 我先逐个回答题主所提及的具体问题，然后再笼统地回答一下所谓“解方程的实质意义”.

我们设 是上面方程组的任意一个解（分离公理），那么代入方程组，显然有（代入公理）：

此时每个方程都化为了数式 ，而没有涉及任何变元，所以使用普通的四则运算去理解方程间的加法就可以了，

上式我写成了较为一般的形式——方之间的线性组合，系数 可以在某个数域 任意选取. 我们发现，方程组（1）的解 仍然是形如（3）的方程

的解. 线性方程组的解的结构比较优美：一个特解加上齐次解的任意倍数，就张成了整个解空间.

2.

如果（1）无解，其充要条件：任取一组数 ，至少存在一个方程满足

但是其他方程等于几我们就管不着了，很有可能通过加加减减刚好得到（3）式，这也是可能的，例如

无解，但 有解: ， ;

也有可能两个方程都没有解，但加起来又有解了：

但 解为 .

3.

解方程所涉及的逻辑，实际上就是分离公理、代入公理，这个如果不懂请自行百度，或者查阅相关文献^[1]；增根等问题，实际上就是在去分母的环节中，方程两边同乘一个代数式，但不能排除代数式为零的可能，或者去分母时分母不能为零的条件被忽略……从代入公理的角度理解是十分清晰的：我们带入的不是一个不定元，而是一个个具体的数值，如果总是从这个角度出发，就会避免“引狼入室”或者“亡羊补牢”.

相信通过我上面的梳理，已经回答了大部分题主的问题.

4.

最后笼统地说一下解方程所谓“实质”.

方程（组）有一大特色，解方程一般来说并不容易，但是验证解很简单. 所以，解方程最一般的方法，是通过穷举法得到方程组的解

从几何的角度，当 满足一定的条件时（正则值原像定理），于是定义了一个子流形. 从微分方程的角度看，它的一个解（函数）是一条固定初值，随时间流动的积分流形.

并不是所有的方程都能解出来，我们能解出来的方程对于全体方程而言简直微不足道，我们会的代数技巧是几千年来数学家们努力的结果，他们给出了为数不多的简单类型的方程的通解. 尤其是代数方程，人们发现，只要能凑成如下结果，就立即可知方程的结果：

所以才衍生出一系列如移项、提公因式、配方……的技巧. 从抽象代数的角度讲，这是在探讨代数扩张、多项式的分裂域等问题，最终由数学家 Galois 给出完美的解答.

参考

1. ^ 《陶哲轩实分析》第3章第1节