如何证明dimQ（R）=dimQ（C）？ 第1页
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显然 和 都是 上的无穷维线性空间。
反证法：如果 或 是有限维，则其同构于 ，因为同构映射是一个双射，因此 或 与 等势，然而 可数但 和 不可数，导致矛盾。
根据Zorn引理可以选取 的线性基 和 的线性基 ，可以按照下列方式证明 。我们只证 ：
首先 是 的子集，因此 。
再根据线性基的性质，任何实数可以表示成 中有限个元素的有理线性组合，因此 ，其中 的定义就是中间的花括号括起来的集合。显然 ，因此 。这其中计算的过程中用到了 是一个无限集的性质。
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