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很好奇,如何证明行列式就是高维多边形体积? 第1页

  

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正交基

立方体的体积最容易理解。

设两个非零正交的向量

那么以他们为邻边的矩形面积为:

若是三个两两正交的非零向量,则有

于是容易将 维立方体体积公式推广为

为了方便,我将这组向量组成的矩阵记为

而正交向量总可以通过旋转得到标准正交基:

其中 是正交阵( ), 是对角矩阵, 是单位阵,并且

https://www.zhihu.com/video/1144305035453190144

由前面的 维立方体体积公式,恰好

所以,对于正交向量组,体积与行列式的关系如上,其中符号是为了区别左右手坐标系。

一般基

对于非正交基 ,我们该如何度量其所构成的体积?

由高等代数知识可知, 可以被正交阵 对角化

为对角阵(一组正交基);又由上面的讨论,我们知道正交阵不改变体积,于是

所以,对于一般基而言,其体积同样等于其行列式的绝对值。


友情提示:

  • 为正交阵,则



  

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