很好奇，如何证明行列式就是高维多边形体积？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
正交基
立方体的体积最容易理解。
设两个非零正交的向量
那么以他们为邻边的矩形面积为：
若是三个两两正交的非零向量，则有
于是容易将 维立方体体积公式推广为
为了方便，我将这组向量组成的矩阵记为
而正交向量总可以通过旋转得到标准正交基：
其中 是正交阵（ ）， 是对角矩阵， 是单位阵，并且
https://www.zhihu.com/video/1144305035453190144
由前面的 维立方体体积公式，恰好
所以，对于正交向量组，体积与行列式的关系如上，其中符号是为了区别左右手坐标系。
一般基
对于非正交基 ，我们该如何度量其所构成的体积？
由高等代数知识可知， 可以被正交阵 对角化
为对角阵（一组正交基）；又由上面的讨论，我们知道正交阵不改变体积，于是
所以，对于一般基而言，其体积同样等于其行列式的绝对值。
友情提示：
- 为正交阵，则
1
相关话题
如何评价国科大非数专业使用卓里奇和代数学引论？祖冲之的割圆术求圆周率是否过于繁琐？
面积与体积的精确定义究竟是什么？
很好奇，如何证明行列式就是高维多边形体积？
1 不可以被 3 除尽，但为什么圆可以被三等分？
为什么矩形面积等于长乘宽？
这个几何问题有什么方法吗?
三维空间中的旋转矩阵是怎样求出的？
如何只通过计算证明“两点之间，线段最短”？
照亮一个球面至少需要几个点光源？
前一个讨论
为何可逆上三角形矩阵的逆矩阵也是上三角形矩阵？
下一个讨论
圆的半径为 1，求其内接正五边形边长？
相关的话题
高等代数中线性变换的核的基怎么求？有哪些神奇的数学巧合？
为什么矩阵行秩等于列秩？
如何看待南昌大学2020线性代数期末考试，出卷人明知疫情期间学习效率低，仍故意极大提高试卷难度？
哪些线性代数（指一般意义上的本科一年级的课程）的难题可以用李群李代数的知识简便、优雅地做出来？
最小二乘法的本质是什么？
请问主曲率为常数的曲面只有平面，球面和圆柱面吗？
设平面无限点集 S 满足任意两点的距离都是正整数，如何证明 S 中的点全共线？
所有数学表达式都有几何含义吗？
如何在田字格中作出一个正三角形？
这个矩阵怎么求啊?求各位大佬解答？
如何判断向量组是否线性相关？
线性代数为什么学校老师讲得那么复杂，考研老师却讲得如此精辟？
如何既保证时间又保证质量地读一本数学书？
球面上的几何是黎曼几何，那球面上的蚂蚁感受到的物理世界是欧氏几何吗？
请问各路神仙，大神们，为什么圆锥的体积公式要有个三分之一（本人高一）？
现实世界中是否存在非欧几何空间？
一个直径为1的圆，最少多少个直径小于1的圆可以覆盖？
有哪些不借助变换群的观点就很难解答的欧氏几何问题？
孩子初三了，几何不好，证明题做题速度超慢，感觉无头绪，关键自己还不着急，应该怎样学习，如何突破？
一个一般的二次型等于0，这个方程应该如何求通解？
勾股数有有限多组还是无限多组？
如何构造一个向量空间，它的元素是向量空间？
正三棱锥内切球的四个切点（两类）分别在三角形的什么位置？
设平面无限点集 S 满足任意两点的距离都是正整数，如何证明 S 中的点全共线？
在AHP方法中，如果构造判断矩阵？依据是什么？
有没有对隐函数求导公式的几何理解？
如何证明同一个魔方公式循环N遍后都会回到原状态？
如果世界上没有三角形会咋样？
如何判断圆锥曲线上是否存在有理点(横纵坐标都是有理数的点)？