用配方法化二次型为标准型时候，配方有什么技巧吗？有些人题需要花费半小时以上。然后试卷做不完了？ 第1页

题主，你得明白——配方法是算法，任何算法在本质上都是一套相对固定的程序；对于程序而言，只有流程简单与复杂之分，而不存在所谓“技巧”之类的东西。如果说非要扯到“技巧”的话题上，只能说发明这套算法是需要“通过对现象予以充分、仔细的考察，从而对此现象背后的本质得以深刻、透彻的洞悉，并最终对‘本质是以何种方式支配现象’这一问题的答案——即所谓‘规律’——作出严格、准确的描述”这一系列的思维活动的，而引号中的部分（可以不太正式地称作“探索发现”），通常在原则上并无一定之规，也更接近于“技巧”一词给人带来的印象。

然而，一旦“规律”被发现，那么一切的“技巧”都不复存在——有的只是按照“规律”的指导系统地执行。

具体到你的问题（可惜你没有举出一个具体的例子。。），为了证明我以上所言非虚，我（只能）随便写一个不太简单（？）的二次型，然后给你展示一下——只要你对这个过程（其中既包括变量替换，也包括了数字计算）足够熟练，够耗费你半小时的，甚至得比下面这个例子还要繁琐才行。。

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刚刚新鲜出炉，欢迎参照。】

例：化二次型 为标准型。（够混乱了吧？我连对角项和交叉项都打乱了混在一起——作为重度强迫症的我先在心里把自己逼死一遍，然后再发出来把其他同类逼死为我殉葬一遍吼吼吼……）

• 第零步（出题人但凡有点儿节操都不会把这步留给你，我故意的）：把二次型的诸项按照变元的字典序重新排列—— 。
• 第一步：把含有第一变元 的项用括号结合在一起—— 。我们准备一次性地把这四项配成一个关于线性项（线性组合）的完全平方，然后将此线性组合以新的第一变量 替换，从而消元 。
• 第二步：置第一项系数的倒数于括号外，括号内各项先把交叉项除以 ，再把各项消去一个 ，然后将整个括号平方，接着留出记录所谓“消元项”的空间（注意“消元项”前面要带一个负号）—— 。
• 第三步：“消元项”亦由“平方项”和“交叉项”两部分组成。先忽略掉完全平方中的第一项 ，剩余的三项一方面各自平方后乘括号外的系数 ，写下结果即为“平方项”；另一方面两两互乘后乘括号外的系数 的二倍，写下结果即为“交叉项”—— 。
• 第四步：作变量替换 消去原来的第一变元 （注意到此时式中旧变元 已不复存在！），将“消元项”中各项同其余各项（两者皆仅含剩余三个变元 ）合并同类项，得到含有新变元的二次型—— 。
• 第五步：重复以上过程，直至找到剩余所有的 为止。

以上这五个步骤就是化二次型为标准型的配方法。你可以看出来，如果不考虑“这五个步骤本身如何得来，如何证明其正确性”这个问题，那么以上过程中没有一丁点儿超过初等代数（按九年制义务教育的数学大纲，约折合为小学六年级到初中一年级之间的知识水平）的“技巧”，是彻底的暴力计算。

至于这五步骤本身，也并非空中楼阁；实际上，当然是有一条规律在背后严格地支配着此程序永远运行而不会产生bug——发现这条规律才牵涉“技巧”，但鉴于此规律众所周知且与本题无关，此处不赘（如需讲明，请于评论区留言）。

（2019.12.16更新）

应评论区 @理论力学杀我 的请求，将本答中配方法的理论依据阐述如下。

其实配方法的理论依据就是小学/初中就学过的乘法公式 的 元推广—— 拉格朗日恒等式（的特例）： 。

【注：一般形式的拉格朗日恒等式为 。设 ，经过一番繁琐而不失技巧性的计算，可以得到以上特例，过程如下——

依以上设定的拉格朗日恒等式为，

，此式左边与特例相同，现计算其右边：

，与特例右边亦相同。以上计算表明该特例的理论依据在于拉格朗日恒等式。】

这个特例本身亦可通过数学归纳法证明，过程简单明快、直截了当，此处不赘。

现进入主题，看这一特例是如何支配以上配方法的过程的——

众所周知，二次型的一般形式为

——（0）

。

给特例中的每个 配上系数 （即作变量代换 ）以适应这里的模式，即有—— ——（1）。

注意到（1）式左边是一个完全平方，而配方后的结果恰恰就应该长这个样子！

但（1）式右边似乎和（0）式还有一定的差别，所以将（1）式右边稍作变形，分离出含有第一变元 的项——这样做的目的是让（1）式长得更接近于（0）式：

。

综上，（1）式就可以改写成——

——（2）。

这样一来就能看得很清楚了，（2）式左边就是（0）式右边第一行的形式，而右边就是配方的结果——第一项是配出来的完全平方；中括号里的两项是消元项，前者是平方项，后者是交叉项，并且也可以明显地看出这两项中均不含第一变元 。

那么剩下来的问题就简明了——视 为待定系数，将（0）式中第一行的对应项系数与之联等，解出所有的 。这样一来就会有 ，进而有 ；最后把这些系数代入（2）式中，得出全部项的表达式 ，将此式结果同以上配方法过程中的第二步和第三步相对比，可以直接看清所涉及的全部操作。

最后，注意到（0）式中交叉项的系数 前面统统带有系数 （因为二次型本质上是个对称型，即 ，而 与 又是同类项，可以合并为 ，故此），因此对于诸交叉项系数被给为具体数字的二次型，必须将这一数字系数除以二才能得到（0）式中的交叉项系数 。这也就解释了为什么配方法的第二步与第三步中，交叉项的系数要除以二（或乘以二）！另一方面，平方项（对角项）并不带系数 ，不涉及此问题，故不受影响。

顺便说一下，如果二次型中全都是交叉项而不含任何平方项，即 ，则此时无法进行配方法的第二步（第一变元的平方项系数为 ，无倒数），貌似是以上配方法程序的一个bug。然而，这个bug并不是本质的——不失一般性地，假定 ，作平方差代换： 即可得到—— 。这样即有不可能被消除/约化的平方项产生，从而令以上配方法程序的启动成为可能。

以上即是配方法的理论依据。此外，这一算法还可以依据另外的一般性公式推广到次数为 的情况（即配 次方）；鉴于离题太远，此处不赘。