虚数是负数的平方根，为什么是在三次方程中才出现的呢？ 第1页

这是一个非常好的问题。
真的很不错！
老实说，看到有人问这个问题，我都有点小激动！
下面我来解释一下。

0. 在解二次方程时对虚数的忽视

回顾我们的二次方程：

就是通过配方将问题转为一个简单二次方程和一个一般一次方程：

即我们的：

这就是我们要凑出一个完全平方的目的，因为这样可以将问题转化为已知的问题。

但是在实数范围内，我们找不到一个数的平方是负数的情况。

因此当 时，我们直接就说方程无解，然后就不会去想太多了。

1. 虚数在三次方程求解中的关键作用

(实系数)三次方程的一般形式如下:

其实在三次方程的求解过程中，也是通过将问题转化为

一个简单三次方程和一个一般二次方程：

来求解的。

我们简单回顾下文艺复兴时期卡尔达诺在其著作《大术》(Arsmagna)中发表的内容，加上一点点复数的基本知识，这样就很容易理解整个思路框架，不至于迷失在繁杂的计算中而忘了自己的目标。

卡尔达诺是在与尼科洛.塔尔塔利亚的通信中，从一首尼科洛的藏头诗中学会的。

两人恩怨极深！

Step1-归结为缺二次项的三次方程

首先方程两边同时除以首次项系数，便得到：

令 ，便可消去二次项，得到：

Step2-归结为解二次方程

这一步就比较巧妙了。

通过多元来降低次数。

令 代入上述方程：

展开上述左边，化为如下：

观察上述式子，我们想，要是 那问题就简单了。

因为此时我们将 看成两个数的话，我们就有机会得到两数之和，两数之积了。

于是我们联想起二次方程的根与系数关系，很快就看到希望的曙光了。

将上述想法实现，便有如下式子。

由于 ,

令 ,则U,V是如下方程的两个根：

于是得到二次方程的解， .

由于v由 等式所确立，因此只要解出u即可。

令 ,当它大于等于0时，大家相对容易做出正确的判断。

这也是为什么在文艺复兴时期，尼科洛只能解系数p大于0的情况。

但是当delta小于0时，由于u没有实数解，我们容易臆想原三次方程没有实数解。

这是错误的。

Step3-归结为解三次方程

为了解释清楚delta小于0的情况，我们不得不采用复数的指数形式。

这样做还有另外一个好处，就是对于上述不管delta是否小于0的所有情况，我们都能找到统一的答案。

对任何一个非0复数，我们都能找到统一的唯一表达：三角形式或者说指数形式

上式中的r,theta分别称为复数z的模长和幅角。

回到正题，由于u,v的对称性，于是我们将关于u的三次方的二次方程重新写成如下形式：

于是u的三个根分别为

由于v由 ，所以z的三个根分别为:

1). delta小于0时

在二次方程

的 小于0时，由

我们可以很容易的计算得到 .

此时，方程的三个根都有统一的表达式:

因此当delta小于0时，原三次方程不是没有实数根，反而是有三个不同的实数根，因为上述括号里面的两个复数是共轭的，共轭复数相加就成了实数。

正是在这个三次方程的求解过程中，发现虚数对其实数根的帮助之大，而且还很关键。

这才真正重视这件事情。

也就是说，不考虑虚数，我们的二次方程的实数根不会受影响，该是几个就是几个，该是什么值就是什么值。

但是在一个有三个不同实数根的三次方程中，如果不考虑虚数，

你极有可能一个实数根都找不到，而考虑虚数你却能找到全部实数根。

不要说有三个实根的情况了，就算只有一个实根的时候，一般情况下你也很难找出这个实根。

比如直接从方程 出发，你是很难通过运气来凑出其实数解的。
因为 就是其唯一的实数解，这显然是无理数。
即便是今天，多项式方程手工能凑出来的解依然只有有理数解。
事实上，它的另外两个根是虚数.

这点就可以看出复数的威力了：

即使是为实数服务，有了复数也能让事情更加高效，圆满！

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有关三次方程的更多精彩内容详见专栏文章：

初中数学课上，我们把一元二次方程的解分为三种情况：有两个不同的解、有两个相同的解、无解。

具体来说，我们推导出了求根公式：

求根公式中根号的存在正是出现『无解』情况的原因：当时，根号下是负数，（在实数域内）无法计算，所以方程无解。

十六世纪的人们也是这么想的。对于这样的方程，在当时的人们眼中就是方程无解的标识，因为对负数开根号没有数学意义。

那三次方程是什么情况呢？

十六世纪意大利数学家Tartaglia给出了形如的三次方程的公式（然而人们却称之为Cardano公式，他俩也因此结怨）：

（推导过程以及一般形式的解见Wikipedia：

）

于是，方程的解就是：

按照之前的想法，根本没有意义，所以意味着方程无解。可是……

可是就满足这个方程呀！那又是什么情况？

1572年，意大利数学家Bombelli做了一个尝试——如果把当作一个平方是的数来计算，我们就有：

于是，.

问题解决啦！

不过话说回来，参与运算之后这个问题得到了解决，所以我们再不认真对待它真是说不过去了。

然而复数直到十九世纪才被严格定义，这归功于爱尔兰数学家Hamilton。

Hamilton把复数定义为有序实数对，并把复数的加法与乘法定义为：

如此定义的动机就是之前我们把复数写成时的计算。

定义了复数之后，Hamilton就把目光转向了，试图把复数继续推广到高维空间当中。

于是，Hamilton开始试图构造『三元数』。十三年之后，他承认了自己的失败。

为了挽救自己这么多年的努力，他开始尝试『四元数』。1843年10月16日，他成功了。（关于四元数的介绍请看：

）

同年12月，Hamilton的好朋友Graves构造出了八元数。当然，这些就是另外的故事了。

那么就这样=w=