百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



设A,B,C均为n阶半正定实对称矩阵,使得ABC是对称阵.证明:ABC也是半正定阵.请问该怎么证明? 第1页

  

user avatar   RealFiddie 网友的相关建议: 
      
引理1 若A,B对称,且AB对称,则存在正交阵Q使得 都是对角阵.

证明:见丘维声的高等代数书二次型那一节

引理2 设A,B均为n阶正定实对称矩阵,使得AB是对称阵. 则AB也是正定阵.

证明:由于A,B半正定对称, 由引理1,存在正交阵Q使得

其中 于是

因此 合同于正定的对角阵,故 是正定的.

题目 设A,B,C均为n阶正定实对称矩阵,使得ABC是对称阵.证明:ABC也是正定阵.

证明:由于B正定对称,则B的特征值都为正数,记 其中 正交, 为B的所有特征值. 所以可以记 其中 也是正定对称阵.

记 则 正定对称. 由条件(ABC对称)可知 也是对称. 由引理2可知 正定. 由于 与 合同,则 也正定.

注:把“正定”改成“非正定”的方法可以是考虑 其中 这样就得到正定矩阵,可以看另一个回答




  

相关话题

  曲率公式是怎么推导的? 
  用一句话讲微积分是干什么的? 
  在集合论里,对于二元公式φ,如何证明(任意X)(存在{x∈X:φ(x,X)})? 
  怎么形象地理解对偶空间(Dual Vector Space)? 
  一个方阵的任意次方的迹都为0,那么它是幂零矩阵。怎样证明? 
  为了使R^n成为向量空间,R^n中的加法运算和数乘运算是唯一的吗? 
  为什么会有 i 这一虚数?可以求出 i 的值吗? 
  '如何计算该定积分? 
  请问一道难度很大定积分,有什么好的解法吗,如下? 
  为什么 A 为 n 阶满秩方阵时,Ax=0 只有零解? 

前一个讨论
这个问题怎么做?最后怎么解出多项式?
下一个讨论
研究尺规作图时发现一个猜想不知是否可以完全解决?





© 2025-06-05 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-06-05 - tinynew.org. 保留所有权利