设A,B,C均为n阶半正定实对称矩阵，使得ABC是对称阵.证明:ABC也是半正定阵.请问该怎么证明？ 第1页
1
RealFiddie 网友的相关建议:
引理1 若A,B对称，且AB对称，则存在正交阵Q使得 都是对角阵.
证明：见丘维声的高等代数书二次型那一节
引理2 设A,B均为n阶正定实对称矩阵，使得AB是对称阵. 则AB也是正定阵.
证明：由于A,B半正定对称, 由引理1，存在正交阵Q使得
其中 于是
因此 合同于正定的对角阵，故 是正定的.
题目 设A,B,C均为n阶正定实对称矩阵，使得ABC是对称阵.证明:ABC也是正定阵.
证明：由于B正定对称，则B的特征值都为正数，记 其中 正交， 为B的所有特征值. 所以可以记 其中 也是正定对称阵.
记 则 正定对称. 由条件(ABC对称)可知 也是对称. 由引理2可知 正定. 由于 与 合同，则 也正定.
注：把“正定”改成“非正定”的方法可以是考虑 其中 这样就得到正定矩阵，可以看另一个回答
1
相关话题
∫（1+2cosθ）/（5+4cosθ）dθ这个积分怎么求？问一个数学分析函数连续性的反例?
有了 Mathematica，为什么还要学习算积分的技巧？
这题二重积分应该怎么做？
高等数学中的希腊字母你们都是如何书写的？
大一微积分∫e*(－pt)sinωt dt（p>0，ω>0）这类问题如何解决？
如何证明矩阵为零矩阵？
A的秩=r(A),为什么齐次线性方程组的解由n-r(A)个线性无关的向量构成？
为什么会对这个用三角函数的那个公式？
高考完的暑假如何自学大学数学?
前一个讨论
这个问题怎么做?最后怎么解出多项式？
下一个讨论
研究尺规作图时发现一个猜想不知是否可以完全解决？
相关的话题
请问这个概念题目有大佬能讲解一下吗？如何证明 a_n＝(1＋1/2²)(1＋1/3²)…(1＋1/n²) 收敛？
这个题如何证?
此题应该怎么解？思路是什么？
如图，这道题中的隐函数为什么可以设y=tx？
如何思考这道定积分不等式？
如何证明 不存在两个有理数a、b，使得 a＋√b=³√2？
如何求解下面的极限函数？
矩阵最小多项式的几何意义是什么?
有一个盒子，把钱放进去有一半的概率变成双倍，也有一半的概率钱会消失，你会放钱进去吗？
数学专业本科生，未来选择哪条路赚钱最多？
∑ (1/n) 为何不收敛？
如何比较 cos 38° 和 tan 38° 的大小？
在整环中，若两个非零元存在最大公约数，则它们是否一定也存在最小公倍数？
如何证明任何一复系数整式p(z)都可以分解成若干个(z-c)相乘的形式？
这几个有关贝塞尔函数的拉普拉斯变换是怎么推导的？
弧的长度与弦的长度之比的极限为1，能严格证明吗？
有什么答案为5201314的高阶行列式（四阶以上）?
这个能用留数做吗?
这个题如何证?
从古典的解析几何到现代的代数几何，研究的问题都有些什么变化？又有哪些共同的问题？
这两道的极限怎么求?
如何评价知乎用户 @证明 的哥德巴赫猜想证明？
为什么高中不直接开设高等数学、线性代数、概率统计这几门课呢？
有理函数的不定积分分母的标准分解的窍门，一些分母较为复杂，如何进行分解？
这两道的极限怎么求?
级数求积：是否有一般的收敛判别法？以及实例∏[p是素数] p/(p-1) 是否收敛?
线代的问题：所有的方阵都可以化为对角阵吗？
这个极限怎么求?？，，，，，，，？
在集合的势的意义下，是否存在比实数集更大的全序集？