设A,B,C均为n阶半正定实对称矩阵，使得ABC是对称阵.证明:ABC也是半正定阵.请问该怎么证明？ 第1页
1
RealFiddie 网友的相关建议:
引理1 若A,B对称，且AB对称，则存在正交阵Q使得 都是对角阵.
证明：见丘维声的高等代数书二次型那一节
引理2 设A,B均为n阶正定实对称矩阵，使得AB是对称阵. 则AB也是正定阵.
证明：由于A,B半正定对称, 由引理1，存在正交阵Q使得
其中 于是
因此 合同于正定的对角阵，故 是正定的.
题目 设A,B,C均为n阶正定实对称矩阵，使得ABC是对称阵.证明:ABC也是正定阵.
证明：由于B正定对称，则B的特征值都为正数，记 其中 正交， 为B的所有特征值. 所以可以记 其中 也是正定对称阵.
记 则 正定对称. 由条件(ABC对称)可知 也是对称. 由引理2可知 正定. 由于 与 合同，则 也正定.
注：把“正定”改成“非正定”的方法可以是考虑 其中 这样就得到正定矩阵，可以看另一个回答
1
相关话题
如何证明求导是线性变换?一个具有介值性的函数是否一定存在原函数？
请问一下如何求解下面这个积分的值？
为什么A的行列式不等于0 A满秩?
若K是一个数域。a+bi∈K，(a≠0,b≠0)。请问a和b一定属于K吗？
为什么矩阵内积的定义包含一个迹运算？
有理函数的不定积分分母的标准分解的窍门，一些分母较为复杂，如何进行分解？
n阶矩阵A的各行各列只有一个元素是1或−1,其余元素均为0.是否存在正整数k,使得A^k=I?
如何评价国科大非数专业使用卓里奇和代数学引论？
这个极限难题如何解决？
前一个讨论
这个问题怎么做?最后怎么解出多项式？
下一个讨论
研究尺规作图时发现一个猜想不知是否可以完全解决？
相关的话题
奇异值分解（SVD）有哪些很厉害的应用？在整环中，若两个非零元存在最大公约数，则它们是否一定也存在最小公倍数？
怎么积∫[0, 1] ln(1＋x²)/(1＋x) dx？
请问这第一道三阶常微分方程怎么解啊，不用特征方程解法怎么做？
这道怎么求极限?
这个积分可以算吗，怎么算？
数学中的“怪兽群”是什么概念？
高数老师像是从德云社出来的是种什么体验？
如何求这个复杂的函数的不定积分?
微积分之后，现代数学有哪些新的革命性工具？近年来物理理论没有突破，是不是微积分不够用了？
三次方程怎么求解？
怎么推导或证明 e^x 的导数是自身？
这个函数的不定积分是初等函数吗？
求大佬帮忙解决，怎么搞出e的？
用这种方式算π，问题在哪？
如何证明对任意给定的正数e，存在M上的矩阵范数||A||，满足不等式||A||<=谱半径+e?
3³+4³+5³=6³，只是个巧合吗?
这道求极限题可以用泰勒展开来做吗？
这个用数分积分可以说明吗？不用高代上正定矩阵的?
这个定积分该如何做?
数轴上的点为什么是连续的？
牛顿莱布尼兹公式指出求导和积分互为逆运算。从几何的角度看求斜率和求面积似乎并没有直接联系？
这道题如何用柯西审敛准则证明收敛?
如何构造 [0,1] * [0,1] 到 [0,1] 的双射 ?
撇去李林不说，考研数学参照2018的难度，2019考生应该怎么准备？
是否存在这样一个非常数函数，定义域是实数集或其子集，值域仅为有理数集子集？是否有这样的函数是连续的呢？
这些无穷乘积展开式怎么证明?
x^2/(1+x^2)^n为什么小于等于1/n?
没有高等数学基础，怎样才能理解研究哥德巴赫猜想?
关于整矩阵的一道题怎么解?