设A,B,C均为n阶半正定实对称矩阵，使得ABC是对称阵.证明:ABC也是半正定阵.请问该怎么证明？ 第1页
1
RealFiddie 网友的相关建议:
引理1 若A,B对称，且AB对称，则存在正交阵Q使得 都是对角阵.
证明：见丘维声的高等代数书二次型那一节
引理2 设A,B均为n阶正定实对称矩阵，使得AB是对称阵. 则AB也是正定阵.
证明：由于A,B半正定对称, 由引理1，存在正交阵Q使得
其中 于是
因此 合同于正定的对角阵，故 是正定的.
题目 设A,B,C均为n阶正定实对称矩阵，使得ABC是对称阵.证明:ABC也是正定阵.
证明：由于B正定对称，则B的特征值都为正数，记 其中 正交， 为B的所有特征值. 所以可以记 其中 也是正定对称阵.
记 则 正定对称. 由条件(ABC对称)可知 也是对称. 由引理2可知 正定. 由于 与 合同，则 也正定.
注：把“正定”改成“非正定”的方法可以是考虑 其中 这样就得到正定矩阵，可以看另一个回答
1
相关话题
这个极限怎么做呢？1，2，3，…，n。去掉1，将2挪在n后；去掉3，将4挪在2后，按此规律进行下去，最后留下的数字是？
小平邦彦《微积分解析入门》第五页怎么等于1?
圆周率已被算到31.4万亿位，科学家如此执着，到底为了什么？
请问这个不等式的证明思路是怎样的？
n阶矩阵A的各行各列只有一个元素是1或−1,其余元素均为0.是否存在正整数k,使得A^k=I?
数学中有哪些让你感到赏心悦目或是震惊的构造手法？
一个N*N的矩阵，取值为0或1，有什么好的算法判断一行或一列全为1啊？
矩阵特征值与矩阵本身的关系是什么？
大一数分高代需要努力才能学好是不是意味着天赋不够？
前一个讨论
这个问题怎么做?最后怎么解出多项式？
下一个讨论
研究尺规作图时发现一个猜想不知是否可以完全解决？
相关的话题
想问下大神连续函数不一定有界的证明?如何通俗地解释陶哲轩等人简化矩阵特征向量求解的方法？
为什么大学的课程（例如高数、线性代数）比高中难很多，老师却讲的比高中快几倍，作业也非常少？
代数学莫宗坚的这道题怎么做?
你曾经看过哪些精彩的数学书？
为何向量没有除法运算？
如何证明dimQ（R）=dimQ（C）？
如何用数学语言描述数列Xn不是单调数列?
有哪些用初等数学就可以迅速解决的高等数学问题？
微积分与线性代数有关系吗？
能不能出一道很难的数学题，答案是 629，宿舍当门牌用？
数学中有哪些巧合让人眼前一亮？
微分几何中为什么定义指数映射？
为什么说高斯公式是斯托克斯公式的特例？
xdm，这题怎么做呀？
为什么黎曼ζ函数能够如此表示？（第二个等号）?
如何从代数和几何的角度分别理解矩阵？
请问这个极限加上变限积分这种怎么计算?
如何解∫√x^2+a^2dx?
数学这种东西也许有用，但是，如何在现实生活当中用到它？
请问怎么证明一个实对称矩阵为零矩阵（如题）？
这道线代题该怎么做？
为什么做功可以和力向量与位移向量的特定内积得出？
如何判断一个方阵变换会导致源向量模长缩小？
如何解决这个数学分析问题？
n阶实方阵矩阵的换位子问题？
如何证明：sinx,sin2x,sin3x线性无关？
求问数学公式推导？
求大佬帮忙解决，怎么搞出e的？
请问这个函数与不等式问题该怎么解答？