百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



设A,B,C均为n阶半正定实对称矩阵,使得ABC是对称阵.证明:ABC也是半正定阵.请问该怎么证明? 第1页

  

user avatar   RealFiddie 网友的相关建议: 
      
引理1 若A,B对称,且AB对称,则存在正交阵Q使得 都是对角阵.

证明:见丘维声的高等代数书二次型那一节

引理2 设A,B均为n阶正定实对称矩阵,使得AB是对称阵. 则AB也是正定阵.

证明:由于A,B半正定对称, 由引理1,存在正交阵Q使得

其中 于是

因此 合同于正定的对角阵,故 是正定的.

题目 设A,B,C均为n阶正定实对称矩阵,使得ABC是对称阵.证明:ABC也是正定阵.

证明:由于B正定对称,则B的特征值都为正数,记 其中 正交, 为B的所有特征值. 所以可以记 其中 也是正定对称阵.

记 则 正定对称. 由条件(ABC对称)可知 也是对称. 由引理2可知 正定. 由于 与 合同,则 也正定.

注:把“正定”改成“非正定”的方法可以是考虑 其中 这样就得到正定矩阵,可以看另一个回答




  

相关话题

  这个极限怎么做呢? 
  1,2,3,…,n。去掉1,将2挪在n后;去掉3,将4挪在2后,按此规律进行下去,最后留下的数字是? 
  小平邦彦《微积分解析入门》第五页怎么等于1? 
  圆周率已被算到31.4万亿位,科学家如此执着,到底为了什么? 
  请问这个不等式的证明思路是怎样的? 
  n阶矩阵A的各行各列只有一个元素是1或−1,其余元素均为0.是否存在正整数k,使得A^k=I? 
  数学中有哪些让你感到赏心悦目或是震惊的构造手法? 
  一个N*N的矩阵,取值为0或1,有什么好的算法判断一行或一列全为1啊? 
  矩阵特征值与矩阵本身的关系是什么? 
  大一数分高代需要努力才能学好是不是意味着天赋不够? 

前一个讨论
这个问题怎么做?最后怎么解出多项式?
下一个讨论
研究尺规作图时发现一个猜想不知是否可以完全解决?





© 2025-04-04 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-04-04 - tinynew.org. 保留所有权利