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平面上两条 n 次曲线相交,交点的最大个数是否为 n²? 第1页

  

user avatar   zhai-sen-8 网友的相关建议: 
      

直觉上认识,n条互相平行的直线是n次曲线的一种(尽管看起来是退化的情形)。两个(n条互相平行的直线)相互交叉就是n^2个交点。然后让n次曲线连续地变动,交点的个数也应该是连续变动的,但交点个数是整数,所以就总是n^2. (这里要恰当地定义好交点的重数)。这是证明Bezout定理的其中一个粗糙的思路。


user avatar   fattyymusic 网友的相关建议: 
      

是。代数几何(Algebraic geometry,数学的一个分支,不是“代数+几何”的合称)里有一个贝祖定理(Bézout's theorem)说的就是这个问题(不是数论里同名的那个定理)。

通俗点说可以这么理解(非完整证明,严格的表述及推导请看代数几何教材): 次平面曲线的方程就是一个二元 次多项式 ,同理,另一个 次曲线的方程是一个二元 次多项式 。它们联立求交点坐标,可以转化为求结式 (Resultant,不是留数,记号类似而已) 的解。根据代数基本定理,最高次为 的多项式方程最多有 个实根(若算上复数与重根,则一定有这么多),这意味着两条曲线最多可有 个实交点(只保证存在,不保证可解), 时即为 。

例子如下图,两条三次曲线最多有九个交点,二次和四次曲线最多有八个交点。

一个较硬核的数学描述参见:




  

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