平面上两条 n 次曲线相交，交点的最大个数是否为 n²？ 第1页
1
zhai-sen-8 网友的相关建议:
直觉上认识，n条互相平行的直线是n次曲线的一种（尽管看起来是退化的情形）。两个(n条互相平行的直线)相互交叉就是n^2个交点。然后让n次曲线连续地变动，交点的个数也应该是连续变动的，但交点个数是整数，所以就总是n^2. （这里要恰当地定义好交点的重数）。这是证明Bezout定理的其中一个粗糙的思路。
fattyymusic 网友的相关建议:
是。代数几何（Algebraic geometry，数学的一个分支，不是“代数+几何”的合称）里有一个贝祖定理（Bézout's theorem）说的就是这个问题（不是数论里同名的那个定理）。
通俗点说可以这么理解（非完整证明，严格的表述及推导请看代数几何教材）： 次平面曲线的方程就是一个二元 次多项式 ，同理，另一个 次曲线的方程是一个二元 次多项式 。它们联立求交点坐标，可以转化为求结式 （Resultant，不是留数，记号类似而已） 的解。根据代数基本定理，最高次为 的多项式方程最多有 个实根（若算上复数与重根，则一定有这么多），这意味着两条曲线最多可有 个实交点（只保证存在，不保证可解）， 时即为 。
例子如下图，两条三次曲线最多有九个交点，二次和四次曲线最多有八个交点。
一个较硬核的数学描述参见：
1
相关话题
如何证明Q[³√5]是域？中国古代数学有什么成就？
怎样看出一个人有数学天赋？
高考数学考场睡一个多小时考 149 分，这种事情有可能发生吗？是不是真的存在牛人？
李代数为何要满足 Jacobi Identity？
这道题怎么做?不懂？
从上海沿G318国道一路向西到西藏，用什么速度行驶可以做到“出发时天刚开始暗下来，到达时天正好全黑”？
如何解决这个数学问题？
如果K'/K=1/sqrt{2},那么k等于多少？
从对数学的贡献上来讲，丘成桐有多厉害？
前一个讨论
为什么拓扑的连续映射不倒着定义？
相关的话题
维数可以是虚数吗？三扇门的概率问题，直觉为什么会产生问题？
这个级数和怎么证明？
如果高考去掉一科，你会选数学吗？
原命题与逆否命题真假性一定相同吗？
有哪些时候你会觉得数学很有用？
如何证明以下恒等式?
如何处理这类三个连乘的积分呢？
椭圆的一般方程 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，其中心点坐标如何推导？
怎么看待数学界天才崇拜这种文化？
如何证明数学定理全宇宙通用？
为什么做数学题不要轻易看答案？
怎样用一个普通人能看懂的方法证明 π 是无理数？
是不是不能这样做，为什么？
什么叫「具有扎实的数学基础」？
100名囚犯猜红绿灯，最多能保证多少人猜对？
如何看待据称菲尔兹奖得主 Atiyah 所写的五页黎曼猜想证明？
大一数分高代需要努力才能学好是不是意味着天赋不够？
对于一个整环而言，①任意两个非零元的最大公因子存在，②它的不可约元一定是素元，是否等价？
有什么提高数学能力的书籍推荐吗？
拥有一个对数学敏感的孩子该如何培养？
是否存在一个比复数更大的数域，使得任意五次方程都有根式解？
如何证明五点共圆问题？
这个级数是怎么得到的？
是否存在非零整数 a，b，c，使 ae+bπ+c=0？
两个独立事件都发生的概率为什么等于两个事件发生概率的乘积？
小时候想到的一个数学问题，现在还没有想明白，可能以后会越来越不明白，有哪位大牛可以帮我解答吗？
各位大佬，这题怎么做?球了？
如何理解50个人中至少两个人生日相同的概率高达97%？
如何通俗地讲解「仿射变换」这个概念？