平面上两条 n 次曲线相交，交点的最大个数是否为 n²？ 第1页
1
zhai-sen-8 网友的相关建议:
直觉上认识，n条互相平行的直线是n次曲线的一种（尽管看起来是退化的情形）。两个(n条互相平行的直线)相互交叉就是n^2个交点。然后让n次曲线连续地变动，交点的个数也应该是连续变动的，但交点个数是整数，所以就总是n^2. （这里要恰当地定义好交点的重数）。这是证明Bezout定理的其中一个粗糙的思路。
fattyymusic 网友的相关建议:
是。代数几何（Algebraic geometry，数学的一个分支，不是“代数+几何”的合称）里有一个贝祖定理（Bézout's theorem）说的就是这个问题（不是数论里同名的那个定理）。
通俗点说可以这么理解（非完整证明，严格的表述及推导请看代数几何教材）： 次平面曲线的方程就是一个二元 次多项式 ，同理，另一个 次曲线的方程是一个二元 次多项式 。它们联立求交点坐标，可以转化为求结式 （Resultant，不是留数，记号类似而已） 的解。根据代数基本定理，最高次为 的多项式方程最多有 个实根（若算上复数与重根，则一定有这么多），这意味着两条曲线最多可有 个实交点（只保证存在，不保证可解）， 时即为 。
例子如下图，两条三次曲线最多有九个交点，二次和四次曲线最多有八个交点。
一个较硬核的数学描述参见：
1
相关话题
为什么 Mathematica 不能显示积分过程，即使它能算出最终结果？有哪些物理系鄙视数学系的经典桥段？
积分不就是找反导数吗，为什么还有稀奇古怪的积分技巧？
数学系为什么有那么多编程课程任务?
一道复变函数证明题怎么做？
如何发表一篇数学论文？
1²+2²+…+n²求和公式的推导有哪些方法?
微软的计算器为什么输入 ln 2 是先输入 2 再输入 ln？
如何比较 √2与log3（5）的大小？
概率论中，为什么XY独立，X²Y²也独立？
前一个讨论
为什么拓扑的连续映射不倒着定义？
相关的话题
如何证明 a_n＝(1＋1/2²)(1＋1/3²)…(1＋1/n²) 收敛？如何看待人教版教材疑似出现低级错误，用爱因斯坦相对论证明勾股定理？
复数为什么比较不了大小？
求大佬指教一道新定义数列问题如何做？
一个初中生，做数学作业老是偷偷地用 MATLAB 计算，如何让他知道用 MATLAB 做数学题的危害？
如何理解哈密顿-凯莱定理？
数学的符号系统有没有缺陷？
比开方更高级的运算能否扩充复数域？
等比级数Z=X-X^2+X^3-X^4+……求和Z=X/(1+X)是怎么推导出来的？
如何证明三面角的两个面角之和大于第三个面角？
刚看了一个柯西不等式的推论，不知如何证明，希望得到解答?
如何看待 Atiyah 对六维球面 S^6 上没有复结构的证明？
负数的正无穷趋于0吗例如（-1/2）的正无穷？
自旋为 1/2 的粒子是什么形状的？三维空间真的有转两圈才能和自己重合的形状吗？
如何求证：无穷级数∑1/i²=π²/6，求方法？
如何构造 [0,1] * [0,1] 到 [0,1] 的双射 ?
全体质数的倒数和是发散的还是收敛的？如果收敛，收敛到多少？（多重问题预警）?
R语言，累计求和号连续几个∑∑∑∑这样的怎么编码？
这个数学分析的问题该如何求解？
时间为什么用 12 进制？
如何证明这道有关叉乘的解析几何题？
立体几何比平面几何难吗？
如何计算下面的级数？
为什么 1-1+1-1+1-1…=0.5？
平庸的数学家能为数学的发展做什么贡献 ？
数学分析中最重要的定理是哪个？为什么？
我是计算数学专业的学生，以后想向芯片制造方向，或者是航空发动机方向走，请问应该自学什么或者考什么博。？
超理论坛是个怎样的论坛？
数学、自然科学史上为什么会有那么多巧合？比如牛顿莱布尼茨同时发明微积分等?
不同国家和制度的数学PhD成才率（永久学术职位）是多少？有多大差别？