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线性映射为什么那么重要? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

依照认识顺序从简单到复杂的逻辑,线性的规律是人类最早认识且把握的。关于这一点就不细说了。

代数角度

从代数的角度讲,关于群同态

这是最简单的“线性映射”,由群论的知识有,

此为第一同构定理。可以看出,同态有助于我们对于群 结构的理解。当我们考虑环、模、域时,照样有同态的定义:

而我们平时所说的线性映射,实际上指的是在模之间的同态。同群的第一同构定理一样,在环、模、域也有类似的定理帮助我们理解代数结构。

几何角度

从几何的角度看,线性映射很“天然”。在欧式空间中,伸缩、旋转、反射都是线性映射,而这些变换对于人类最为直观(再算上平移,就是仿射变换)。如果说平移保持的是点与点之间相对的距离不变(等距变换),那么对于线性变换(满秩的线性映射)就是保持线性性质不变。

另外线性变换最大的优点是:只需知道有限个点处的取值,就可以求出来所有点的值。这有限个点就是基底。这种一叶知秋的感觉呢,比非线性的好多了。

微分方程角度

我们可以将线性方程写成求线性算子的零点的形式。

从实际操作的角度,也就线性方程比较友好。非线性的方程,人类确实所知甚少。随手写一个非线性 PDE,有没有解都很难判断。但是线性微分方程就非常透明,没有非线性那样令人抓狂。顺便提一下 ODE 中一个重要的线性映射:

就是特征方程。这是一个将函数方程映射为代数方程的线性映射。第一次学到这东西,我觉得是个人都会感到惊讶吧。

泛函分析中线性映射是处在核心的地位,泛函那真是无所不包了。我曾以为自己很了解线性映射,自从学了泛函,学到我都已经不认识线性映射了……




  

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