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怎样证明这样一个行列式不等式? 第1页

  

user avatar   you-zhi-qing-nian-55 网友的相关建议: 
      

这里是一个使用cauchy-binet公式和cauchy不等式的做法。

对 的前m列展开,使用cauchy-binet公式:

使用柯西不等式,有

对两个括号内再次使用cauchy-binet公式, ,另一个同理,即原不等式。

但是感觉取等不是很好表述(子式和余子式对应成比例...?)。


user avatar   inversioner 网友的相关建议: 
      

不妨设 是满秩矩阵,否则不等式显然成立。

首先 ,而

令 ,则要证明

断言: 是正定矩阵。
证明:根据 满秩得到 也满秩(列向量线性无关),而且 。

由Schur公式我们有

只要证明 。

根据 为正定矩阵,我们得到 ,所以 是半正定矩阵。

断言:设 为同阶实对称矩阵, 正定,则 可以同时对角化。
证明:由正定性可设 , 可逆。令 。存在正交矩阵 使得 为对角矩阵。这时候令 ,则 。

我们同时对角化 : ,则只要证明

还是由Schur公式, 相抵于 。而 正定,所以 正定,得到 的对角元都是正数;而由 非负定,这些对角元不大于 对应的对角元。证毕。

取等条件取到时有 。因为 正定,存在可逆方阵 使得 ,故 ,这得到 ,从而由 可逆知 。所以取等条件为 。




  

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