微积分与线性代数有关系吗？ 第1页

先回答两个问题：

1、微积分和线性代数有关系

2、矩阵显然是不能替代微分算子的。微分是解析运算，是一种极限意义下的运算，而线性代数只是线性的运算，不具有极限意义。

接下来扯几句它们的联系在何处：

1、微分、坐标变换与线性变换

对于任意空间到另一个空间的坐标变换：

这里直接对 x,y 求全微分，可以得到：

这里就出现了一个十分有趣的现象：对于坐标变换 x,y 到 u,v，它们是任意变换（当然g,h必须可微），然而从dx,dy到du,dv却成了一个线性变换的形式：

这里我们记雅可比矩阵为：

如果它可逆，则其逆矩阵刚好是：

此时如果在x,y平面上做一个矩形，它的长宽分别为 dx,dy, 那么在上述变换下，其对应在u,v平面上的平行四边形面积就可以算出来了。这里详细内容我在另一个回答已经说明了，可以参考：

在你们的非专业教程里面，线代通常是作为计算工具存在的，尤其是矩阵更是为简化记法起到了巨大的作用：

2、多元函数的隐函数

对隐函数组：

两边对x求偏导得：

整理成线性方程组的矩阵形式：

注意到其系数矩阵又是一个雅可比矩阵，该线性方程组用克莱默法则一步到位。

3、多元函数的Taylor公式

看着是不是很眼熟？一次项变成了x-a向量与f的梯度的点积，2次项刚好变成了2次型，而此处的H（x)则刚好是Hessian矩阵：

4、向量求导

如果引入向量（矩阵）求导，那么上述许多内容还可以进一步统一，因为雅可比矩阵实际上就是一个向量对另一个向量的导数：

仔细看看上面，如果我们令黑体y = (u,v)，黑体x = (x,y)，那么就刚好是上面所说的雅可比矩阵了。

这部分的详细内容我在这里有详细描述：

当然矩阵求导这个话题还可以进一步延伸，但可惜的是只要有矩阵参与，就必须再引入Kronecker乘积了，否则通常不具有链式法则。这部分内容可以参考文献：Kronecker Products and Matrix Calculus in System Theory。

PS：尤其在多元函数部分，矩阵和线性代数的用处极大。如果能熟练掌握线代的运算技巧，再结合几何意义，你的多元函数积分可以飞起来玩。