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设A,B,C均为n阶半正定实对称矩阵,使得ABC是对称阵.证明:ABC也是半正定阵.请问该怎么证明? 第1页

  

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引理1 若A,B对称,且AB对称,则存在正交阵Q使得 都是对角阵.

证明:见丘维声的高等代数书二次型那一节

引理2 设A,B均为n阶正定实对称矩阵,使得AB是对称阵. 则AB也是正定阵.

证明:由于A,B半正定对称, 由引理1,存在正交阵Q使得

其中 于是

因此 合同于正定的对角阵,故 是正定的.

题目 设A,B,C均为n阶正定实对称矩阵,使得ABC是对称阵.证明:ABC也是正定阵.

证明:由于B正定对称,则B的特征值都为正数,记 其中 正交, 为B的所有特征值. 所以可以记 其中 也是正定对称阵.

记 则 正定对称. 由条件(ABC对称)可知 也是对称. 由引理2可知 正定. 由于 与 合同,则 也正定.

注:把“正定”改成“非正定”的方法可以是考虑 其中 这样就得到正定矩阵,可以看另一个回答




  

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