设A,B,C均为n阶半正定实对称矩阵，使得ABC是对称阵.证明:ABC也是半正定阵.请问该怎么证明？ 第1页
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RealFiddie 网友的相关建议:
引理1 若A,B对称，且AB对称，则存在正交阵Q使得 都是对角阵.
证明：见丘维声的高等代数书二次型那一节
引理2 设A,B均为n阶正定实对称矩阵，使得AB是对称阵. 则AB也是正定阵.
证明：由于A,B半正定对称, 由引理1，存在正交阵Q使得
其中 于是
因此 合同于正定的对角阵，故 是正定的.
题目 设A,B,C均为n阶正定实对称矩阵，使得ABC是对称阵.证明:ABC也是正定阵.
证明：由于B正定对称，则B的特征值都为正数，记 其中 正交， 为B的所有特征值. 所以可以记 其中 也是正定对称阵.
记 则 正定对称. 由条件(ABC对称)可知 也是对称. 由引理2可知 正定. 由于 与 合同，则 也正定.
注：把“正定”改成“非正定”的方法可以是考虑 其中 这样就得到正定矩阵，可以看另一个回答
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