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数值分析中割线法的收敛阶是如何证明的? 第1页

  

user avatar   zhou-hao-cheng-30 网友的相关建议: 
      

考虑我们对于零点求解问题 利用割线法得到一列两两不同的零点估计值 ,此函数 的精确零点为 。不妨假设 具有充分好的光滑性割线法收敛,即 ,且 ( 为一个一阶零点

则有:


要考虑收敛阶,我们自然地考虑误差 :

计算:


令 ,由 充分光滑, ,得到:

这是因为:我们可以定义映射 ,则由 充分光滑, 在 处连续且可导,且 (Taylor)。


不妨假设收敛阶为 ,即 。

则 ,故 。

故 为非零常数。

结合上面关于 的求解,得到 。(这里之所以是大于等于是因为 可能为零)

故解得 。


得到结论:在 光滑性充分好、割线法收敛且精确零点 为一阶零点的情形下,收敛阶至少为 。当然题主可以自行地削弱 所需要满足的光滑性条件来得到更强的结论,但是大致的思路是相同的。值得注意的是:割线法类似于牛顿法,当 为高于一阶的零点时,收敛阶数可能退化,在上面的证明中我们也能够容易地看出这一点。




  

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