百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



数值分析中割线法的收敛阶是如何证明的? 第1页

  

user avatar   zhou-hao-cheng-30 网友的相关建议: 
      

考虑我们对于零点求解问题 利用割线法得到一列两两不同的零点估计值 ,此函数 的精确零点为 。不妨假设 具有充分好的光滑性割线法收敛,即 ,且 ( 为一个一阶零点

则有:


要考虑收敛阶,我们自然地考虑误差 :

计算:


令 ,由 充分光滑, ,得到:

这是因为:我们可以定义映射 ,则由 充分光滑, 在 处连续且可导,且 (Taylor)。


不妨假设收敛阶为 ,即 。

则 ,故 。

故 为非零常数。

结合上面关于 的求解,得到 。(这里之所以是大于等于是因为 可能为零)

故解得 。


得到结论:在 光滑性充分好、割线法收敛且精确零点 为一阶零点的情形下,收敛阶至少为 。当然题主可以自行地削弱 所需要满足的光滑性条件来得到更强的结论,但是大致的思路是相同的。值得注意的是:割线法类似于牛顿法,当 为高于一阶的零点时,收敛阶数可能退化,在上面的证明中我们也能够容易地看出这一点。




  

相关话题

  卡诺循环推导克莱修斯不等式过程中,求和∑变积分这步,依据的是什么? 
  广义反函数的定义及该定义的相关说明(问题描述)? 
  圆周率中各个位数字是不是「均匀分布的」?比如取 100 万位,是否每个数字出现次数都在 10 万左右? 
  数学专业是不是真的又难又脱离实际找不到工作啊⊙_⊙? 
  地球的圆是什么程度的圆? 
  物理定律能否脱离物理研究过程,直接通过数学演绎发现? 
  为什么在数学中,一些运算的逆运算比原运算难很多? 
  做数学的人需要记忆很多东西吗? 
  (a+b)!/(a!b!) 的结果一定是整数吗?如果是,如何证明? 
  为什么数学猜想一定需要证明才能应用? 

前一个讨论
有哪些看起来很难但做起来很简单的数学题?
下一个讨论
为什么我用欧拉公式得出了i=0?





© 2025-06-26 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-06-26 - tinynew.org. 保留所有权利