存在,如 .
首先,设 是狄利克雷函数
则 是仅在原点可导的函数。证明:
令 ,则
当 时, 显然不连续,则不可导。
现在,考虑函数 ,显然它在原点可导且导数为 ,在原点以外均不连续不可导。
的大致图像如下所示:
从图像中可以看到,在原点附近的斜率确实是 .
有一个处处连续处处不可导的函数,叫魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function),即
其中 , 为正奇数,且 .
取参数 , 最大算到 , ,编程作图得:
令 ,有
因为 处处连续,即在任意闭区间有界,故 有界, .
当 时,猜想 不存在。
如果上述猜想成立,则 是一个处处连续,且只在一点可导,且该点导数不为0的函数。
取相同的参数,得到 的图像: