ln(x)取值为超越数的条件是什么？ 第1页
1
e_galois 网友的相关建议:
先说个不错的结论: 当 为 (文中多值情况不予讨论, 但结论依旧成立)或不为 的代数数时, 都为超越数. 证明将借助下图中的Lindermann-Weierstrass定理(该定理的一个比较初等简短的证明将在文章末尾给出).
Proof. 当时显然. 设 为不为 的代数数, 取主值, 我们用反证法. 如果 不为超越数, 于是
都为代数数. 由 不为超越数知道 必为某一元有理系数多项式
的根, 因而得到
线性相关. Q.E.D.
实际上, 如果借助“当 , 为非有理数的代数数, 则 为超越数”这一广为人知的数论结果的话, 形式上的可判定范围还可以更大, 我们留待读者思考(当然, 如“当且仅当 不为 的代数数次幂时, 为超越数”这样的无赖解法我将不考虑在内).
由于有些人认为问题很没意思或很显然, 我此处写一下问题的难点: 要知道 是有理数, 是超越数(利用欧拉公式 和我前面提到的数论定理), 也是超越数, 所以 是否是超越数并不能由 或 的超越性来简单判断.
补充: Lindermann-Weierstrass定理的证明(书上有些初中二年级时候做的笔迹, 字丑轻喷).
1
相关话题
如何证明不等式(x+1)^(1/(x+1))+x^(-1/x)>2 ?如何在数学试卷上调戏阅卷人？
一段文字的包含的信息量能不能衡量？
如何用最简单的语言统一描述多元函数求导（对向量求导、对矩阵求导等）？
方程 cos(x) = x 的唯一实数解是不是超越数？
请问泰勒公式的几何意义是什么？
数学中有哪些表面没有关系但是内在有深刻联系的问题？
中国数学博士的基础课明明上得比美国的多，为什么学术水平和基础还是美国好呢？
康托尔著名的对角线证明？
如何证明一下等式?
前一个讨论
Z^n的所有子群怎么求？
下一个讨论
宇宙中最大的钻石能有多大？
相关的话题
如何只通过计算证明“两点之间，线段最短”？第4题怎么做，我发现什么了?
参加 2021 年丘成桐大学生数学竞赛是什么体验？如何评价今年的竞赛？
有两个疑问：一是三角锥构型是不是只用于化学的用语，因为在数学上感觉没学过；二是 p4 是什么构型？
2019新课标1数学概率大题中的一个递推公式如何的出？
请问这道数分题该怎么做？
为什么法语的数字表达方式那么奇怪？世界上还有其它主要语种采取类似的数字逻辑吗？
请问a^2+2*b^2+3*c^2=20*d^2的所有整数解是什么？
黑箱里有n个小球，编号为1, 2, ..., n，随机抽一个球的号码是10，能获得什么关于n的信息？
如何评价用户 @TravorLZH？
计算根号下1+根号下1+根号下1......等于多少？
两幂级数柯西乘积收敛半径大于等于较小者 怎么证明呢？
如何证明若行列式 D 中有两行元素分别对应成比例，则 D=0？
如何理解 95% 置信区间？
怎么做该题？？？
如何正确理解小概率事件，以及概率和哲学的关系？
为什么对于一阶、二阶导，人们通过直观可以轻易地认识，三阶及以上就很难直观地认识了？
如何计算一组三维空间角度数据的方差（或者说离散程度）？
如何用数学语言描述数列Xn不是单调数列?
这几个不等式如何证明?
为什么 sin(x²)+sin(y²)=1 的图像这么复杂？
这个积分问题怎么做？
你最喜欢的公式/定理是？
哪些线性代数（指一般意义上的本科一年级的课程）的难题可以用李群李代数的知识简便、优雅地做出来？
ln(x)取值为超越数的条件是什么？
为什么无穷多个无穷大的乘积不一定是无穷大？
向量奔驰定理有哪些证明?
如何计算如下的定积分？
对于任意阶可导的函数f(x)，1/f(x)的n阶导数是否能求出显式表达式？
如何看待高中生声称证明哥德巴赫猜想？