为什么实对称矩阵一定可以正交对角化？ 第1页

对角化的数学证明乏善可陈，题主可以在任何一本线性代数的教材上找到。

这里给一个物理直观，考虑流体中的一个“无穷小”微团，该微团在三维空间中可以拉伸，可以旋转，可以平移，而且只有这三种变化（你可能会认为可以把它捏成一根弯面条之类的，但这是不在考虑内的，因为我考虑的是“无穷小”的流体团，其局部“无穷小”的变形只能是线性的），现在我们用数学语言来描述该变形，设变形前该流体微团上两点位置分别为 和 ， 为该流体的微小变形场，其中 ，则变形后相应两点位置为 和 ，所以变形后两点位置差为

由于变形前位置差为 ，故当变形前两点非常接近时，也就是 时，产生的局部变形为 ，我们注意到，之前说的三种变化，拉伸、旋转、平移，其中平移是不会造成局部变形的（因为平移不改变两点的位置差），所以 的物理意义是拉伸和旋转，现在考虑

其中 ，而 .我们断言， 这样一个对称矩阵，表示拉伸，而 这样一个反对称矩阵，表示旋转.为了得到这个断言，我们注意到，旋转是不改变位置差的大小的，而只改变位置差的方向，因此我们考虑如下只受到位置差的大小影响的量

上式表示的是变形后位置差的平方减去变形前位置差的平方，上式计算得到

由于 ，故上式右端第二项可忽略，故 的的效果就是拉伸，因此， 表示拉伸，而 表示旋转.

这提示我们，任何一个对称矩阵都可以表示拉伸（因为 ，任给一个对称矩阵，还原出 是很容易的），而拉伸这样一个变换，只要取一个足够好的正交坐标系 ，总可以使得拉伸在这种坐标系下是沿着基的方向做拉伸的，也就是效果是 ， ， ，因此在这种坐标系下，拉伸就是对角阵 。另外，我们知道，正交坐标系之间的变换就是正交对角化，因此，我们得到结论：对称阵总可以正交对角化。