为什么部分大一学生认为线性代数听不懂？第1页

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michael-62-37 网友的相关建议:

岂止是大一学生，我大学毕业N年了，也听不懂线代，完全不知道是什么，有什么用。

我觉得教学方法出了问题：中国的教学不讲逻辑。

正常教学是这样的，以微积分为例：

1，我遇到了问题，现有技术不能解决。

2，我针对目前问题，提出新思想，然后创造一个新方法，可以解决这个问题。

3，提炼为公式。

4，公式创造出来后，加以扩展，公式套公式，得出新的公式和定理。什么洛必塔，泰勒，不努利，拉格朗日，夹逼。。。。

中国讲微积分是这样的：同学们，导数怎么求呢，高阶去一位，大家记住。

积分呢，再加一位，大家记住。

然后套各种公式，天天解题。

。。。。

做了N年题，都不知道在做什么，也不知道微积分是做什么用的，导数是啥？

后来看了牛顿的生平，知道他为什么要发明微积分，用到什么思想，突然觉得微积分很牛逼，不仅方法牛逼，其中的逻辑也很牛逼，牛顿很牛逼。所以欧洲人说”上帝创造世界，牛顿发现了上帝是怎么创造世界的“。

要是教材把这些东西讲出来，微积分爱好者能增加30%。

线代呢，到现在也不知道。

bingruojue 网友的相关建议:

因为国内大部分线代教材和授课方式都不符合人的正常认知规律。就像你建完一栋楼，把脚手架都拆了，然后从怎么设计里面的电梯开始教学生造楼的方法，学生当然是一脸懵逼。

好多线代教材一上来就讲行列式，对角线展开、逆序数、奇偶排列，搞得不亦乐乎，然后告诉学生这玩意儿能帮你解一次方程组。学生肯定血压飙升骂你有病，老子解了那么多年方程，谁会用这种见鬼的办法？接着又讲行列式的各种性质，什么第i行的c倍加到第k行，咱就不能把消元法和矩阵初等变换先讲了再讲这些吗？您难道不觉得顺序别扭吗？

开始讲矩阵之后总算没那么违和了，但各种骚操作仍然层出不穷。我相信大部分学生第一次接触秩的时候发现这个东西竟然是用不等于0的子式阶数来定义的，肯定直接痛苦面具。先从主元个数这个容易理解的定义上手不好吗？之后讲线性空间，行空间列空间零空间左零空间之间是啥关系，很多书都不讲。这么好的例子你不讲，你定义这一堆概念是要让学生明白个啥？特征向量和二次型那就更别提了，学到这儿早已经七荤八素了，能记得特征值可以用来搞对角化就谢天谢地了。

这么一通学完当然就出现两个问题。第一是学了一堆计算技巧，花费了大量精力去理解各种细枝末节的证明，但是对线代的大框架大图景完全没有概念；第二就是在应用情境下和数学知识联系不起来，比如不清楚最小二乘的矩阵形式怎么推，因为只知道样本点到拟合直线的距离平方和最小而不能从投影到列空间的角度去理解最小二乘。

这显然不是学生的理解能力不行，是你要不管总体结构先造电梯的，还一上来就把电梯的设计搞得相当复杂。结果电梯造完没地方装，只好先丢在一边，于是在学生的印象里所有章节之间全是割裂的。这时候你说，喂，电梯是可以沟通联系一楼和二楼的！谁知道啊？

tu-dou-84-69-9 网友的相关建议:

如果你们线性代数启蒙教材选择的同济版线性代数，那么，听不懂不是你的错，你是垃圾教材的受害者。

可以这么讲，任何第一章开篇就用逆序数来定义行列式的教材都是乐色。第一逆序数是个什么玩意，第二，行列式那个可怕的一大坨乘积加求和形式，没有交代来龙去脉上来就来这么个玩意是几个意思，当年作为萌新的我就懵逼了。更可笑的是线性代数最重要的线性空间居然打了星号，是选学的，老师压根就不讲。

线性代数的主题就是研究线性空间以及定义在线性空间上的线性映射的性质。其他行列式矩阵等各种知识点都是为主题服务的。如果只看同济版教材，会让人以为行列式和矩阵的各种运算是线性代数的主体，而实际上，行列式在线性代数中是非常微不足道的内容，国外教材线性代数应当这样学甚至完全抛弃了行列式。

国内线性代数教材以丘维声的高等代数写得最好，内容丰富，结构也非常合理，配合B站视频，简直就是醍醐灌顶！

解方程组作为学习线性代数的起始是最好的，承先启后，因为初中就会解三元一次方程组，增加到n元并没有本质的区别，高斯消元法也是之前就学过的。把未知数省略直接写成系数矩阵，这是以前没学过的东西，但一点也不突兀，顺理成章的引出矩阵的概念，矩阵的三种初等变换对解方程组来说也是理所当然可以理解的。然后讲方程组解的结构，引出线性空间，从自由变量的个数，引出秩的概念。这样的线性代数入门，比一开始定义行列式好得多

线性代数应当这样学也是一本不错的教材，但不适合新手自学，有一定基础再学习这本教材效果非常好！

chen-xiao-sha-40 网友的相关建议:

用3Blue1Brown大佬的一句话来解释：现在的线性代数的教学，就好比学sin x的时候告诉你sin x=x-x^3/3!+x^5/5!...，虽然计算机也确实是这样算的，但是这样学是违反直觉的。

所以学习线性代数，推荐看看讲几何内容的教材，例如：

以及3Blue1Brown大佬的线性代数的本质：

he-rui-91-69 网友的相关建议:

大一的时候学线代，用的是清华大学出版的黄色封面教材。第一章就是行列式，两堂课就到了克拉默法则。全书的流程就是：定理证明例题练习定理证明例题练习。教材评价：劝退级。

学到期末，除了行列式矩阵怎么写，其它啥也没搞懂。没办法，到图书馆借了一本同济版线性代数教材，在图书馆奋战三天，终于把线性无关，秩，方程组之类的捋清楚了，考试96，然后一个寒假把线代忘的一干二净。同济版教材的证明减少了公式，增加了逻辑推理，明显好背很多。教材评价：考试突击级。

后来读了introduction to linear algebra和linear algebra application。对向量矩阵的概念加深了许多。教材评价：益智级。

经常在知乎上寻找线性代数理论的优质回答。评价：部分答主应该出书。

xiao-diao-ling-lw 网友的相关建议:

正常的数学发展和逻辑思路：

1.想解决某种问题A

2.诞生新的数学思想a，可将A分为B+C+D

3.定义新概念B.C.D，由A可知具体性质

4.深入研究BCD，可发现特殊 B1.B2.C1.C2.D1.D2，能解决特殊情况下A

5.深入新思想a，对其在新问题X上推广。

中国教材编排及教学：

一、B的定义性质，运算，特殊情况B1.B2

二、C的定义性质，运算，特殊情况C1.C2

三、D的定义性质，运算，特殊情况D1.D2

（相当一部分人在前三章一脸迷茫）

四、定义一种运算B+C+D，大量习题保证你此运算必须熟练。

五、告诉你上述运算可解决实际问题A

六、拓展B1+C1+D1、B2+C2+D2

七、问题X的解决（了解内容，考试不考）

转发自bilibili网友

我只是个转发的，竟然获得这么多点赞和关注，感谢大家AvA

补充一些个人看法，皆针对于评论区的讨论：

有的人执意认为需要一个“现实例子”或者“实际问题”作为引入，但是这其实并不是必要的，甚至是会显得很唐突，是生涩的。引入手段不一定非要实际问题不可，而是一个通过对已知领域深入思考，发现困难引入新领域的过程。缺少对已知模型的深入思考，很难发现新的困难和问题，更不可能明白对这种问题解答的意义，更不可能搞清那么多细节究竟能为了什么。学生需要的也不是把知识和现实作多少类比，需要的是一个清晰的利用知识解决问题途径，需要的是能帮助他们构建模型进而了解其思想的方法。

有的人认为数学更多是天赋，有天赋的你教了B和C，能类推出D，并且归纳出A。这样说没什么大的错误，但是我不认为这是能培养人才的思想。①教育是提高社会人均素质的，不要用少数特例去给教育问题推脱责任。你可以说有的人这么做是没问题的，但是如果大部分人都说这样教自己学不会，我认为有必要听一听人民群众的声音。②学习讲究效率，理论上如果天才的生命足够长（比如寿命几千年那种）你确实可以不教让他自己悟。但是现代人普遍只有七十多年寿命，你每在教育上偷工减料一点，未来都是压在天才生命上的一个包袱。

phobos 网友的相关建议:

数学是门古老而神秘的技艺，绝大多数人早年在运算能力上备受挫折，稍后又不守方程规矩，不明方圆几何；有一部分人在引入坐标系以后，豁然开朗柳暗花明，也有的人在三角变换里重拾自我，甚至有人在立体几何里重塑金身的；但总有一天，进入到微分的世界，才渐入佳境，如鱼得水，最终一统江湖与一桶浆糊就此分野。然而，那时已经长胡子长毛了，所以总有个错觉，数学是男人成熟的标志，荷尔蒙救了数学成绩单。

线代，说实话，是大学课程里的休闲项目，一个人在金山银山里逛了一圈，重回绿水青山，兜里揣着沉甸甸的那种意得志满，踅身进到一家小吃铺，菜单从后面往前翻，随便乱点，不看价码的小人得志之感，油然而生。

所以我就问，你选修了线性代数，怎么还没带钱包呢？刷码也可以，但账户余额要多一个零。

Masaki.Ryuu 网友的相关建议:

其实这题还蛮幽默的, 因为大多数学校根本就没打算教你线性代数.

这个问题已经恶劣到大多数高校指定的那本同济线性代数教材在学术圈里达成差评如潮的成就了. 而原因就在于大多数学校没能在这个问题上办到因材施教, 他们只是将高数线代一并视为理工科的常识课程. 这意味着什么? 这意味着没有人会考虑你所在的专业究竟需要线性代数中的哪些概念. 那如果所有专业的侧重点都不同呢? 那就大家一起谁也别想学到真货.

下面这个系列其实还是有在写的啦:

上一篇完结了高数, 自然这一篇就轮到线代了, 所以正巧对这个问题也有一些想法.
其实这个类型的文超级难写好伐? 每次想写周全点儿都要怒破万字.

下面我就从物理系的角度讲讲为啥高校普遍都教不好线代^[1]:

第一段我们已经提到了, 从根本上来说, 教育体系目前的这套逻辑就是有病的, 在这个逻辑下的物理学院通常会选择让整个学院一起开线代课, 但物理学院只有物理学一个理科剩下的全是工科啊··· 更过分的可能还有跟土木之类一起学的.

那你觉得这种情况下, 有可能针对量子力学需要的内容给你细讲线性空间与线性变换吗? 他搞不好直接就外包给数学学院的讲师来开课, 然后这位讲师过来一看, 哇靠一帮工科仔, 反正你们也谈不上理解什么东西, 对着工科教科书教教你们算表格差不多得了.

所以是讲师的水平不行吗? 我看也未必. 但他确实没法给你讲好, 首先他不可能就照顾你们物理学专业, 其次他也确实不知道你们物理学专业重点需要的是哪些概念. 你说别对着工科教科书嗯念, 讲点儿概念性的东西也很为难他呀, 难道他给你从群环域整起? 像 Hilbert 空间这种东西在部分数学系完全是博士课程的内容, 怎么给你大一仔讲?

那同样是这样胡来的高数为啥就没问题呢? 因为高数实在是太简单了啊··· 高数随便怎么瞎几把乱讲都可以的其实, 本科生学高数就像是小宝宝学人话, 你就给他放那, 他自然就是会说人话的. 高数基本上就是一个级数加减乘除的问题, 你学加减乘除难道还需要考虑教学的侧重点与看待问题的高度吗? 不就是嗯学就给他整明白了?

但线代这么搞就很不明智, 很愚昧我只能说这种培养方案. 就你如果把数学粗略地分为分析、代数与几何三大块儿的话, 那物理系需要的所有代数理论整个打包起来, 我们会管这叫线性代数^[2]. 那高数呢? 它在哪块儿? 答案就是它哪块儿都不在, 它根本就不是数学, 它就是纯粹的加减乘除, 是常识好吗?

那分析与几何呢?
(1). 分析是咱不需要的东西, 它只能用来严格化较老的物理理论, 学了只能很酷, 纯兴趣或装逼用.
(2). 几何是物理系的小语种, 当你的理论过于高深了以后, 你就离不开近代数学的拓扑概念了. 以前你还可以像大多数物理人一样对着数学概念胡言乱语, 什么 Lie 群就是旋转、张量就是矩阵, 然后量与分量不做区分, 提到矢量脑子里还是三维空间里内些箭头玩意儿. 但你学到弯曲时空再这么胡说试试? 从这往后你就需要拓扑空间然后不断地往上面加额外结构再给这些有结构的拓扑空间整个名字, 接着说起话心里才能明确自己面对的这个元素有哪些身份, 又牵扯到哪些空间. 这就是几何, 也确实小众, 估计九成以上的物理人都涉及不到吧.

不过数学上这三者虽然中心都隔得很远但界限其实越来越不明确了, 所以这么分真的很粗略.

所以你高校就是怎么都教不好线代.

因为你把我们需要的基本上全部的数学都给拎了出来, 放到了与常识对等的位置上在教学.

然后高校还并不打算正经传授这些内容, 因为制定学习计划的人根本就不知道各个专业需要哪些内容, 所以大家就一起纯粹学点儿算表格罢:

今朝矩阵求个秩, 昨夜五阶行列式.
线性方程跑出来, 啥是逆序数我日.
------------------------ 東雲正樹『迹』

学是学了, 但你心中却会浮现出这么一句话:『这些七零八碎的破拉玩意儿学了干嘛用的啊?』

也就是说, 学的东西跟专业所需要的概念完全不同, 这也导致了物理系一个很草的说法就是大家的线代都是量子力学老师教的^[3]. 物理系就是这样, 我估计其它专业的感觉也差不了多少.

那为啥不干脆关了线代课给量子力学延长课时或者干脆各专业内部开设线性代数呢? 因为懒政, 线代和高数作为理工科的公共必修基础课涉及到多个学院之间的合作, 虽然现在的问题很大但似乎最后总还是有一批人能自学成才所以就干脆装作看不到好了. 毕竟就算真的要改革⋯ 又该让谁出面来改呢?

这就是, 听不懂.

学习, 更重要的永远是理论框架而非技术细节, 重要的是思想、哲学与方法论而非具体的工艺流程. 因为学完后, 能给你带来影响的永远是一个学科内蕴的独特视角, 而具体的计算方法只会随时间消逝, 如果将来实际用不上的话就完全没有任何价值了.

所以你给大一新生怼一门全是技术细节的课程? 搁这三十天速成码农呢?

其实那些科研搞得风生水起, 上课却叫人长眠不起的教授大概就是很懂工艺流程但完全不重视甚至可能根本没细想过知识体系背后的究竟理论框架长啥样的那种人.

所以线性代数到底是啥? 请参考:

参考

^ 没错, 不是你学不好, 纯粹是学校教不好.
^ 所以实际上线代是不可能开一门课就将完的, 但你至少第一门课要能给人家领入门吧?
^ 被迫要把教学讲义的第一章改成线性空间的量子力学老师也很无语啊.

xie-zong-xin-61 网友的相关建议:

你用的一定是这本教材吧：

chang-fei-85-47 网友的相关建议:

听不懂才正常，高等数学本身就没法向大众普及的（包括我），所以我学不了理工科。

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