为什么矩阵行秩等于列秩？ 第1页
1
guokou-wang-75-52 网友的相关建议:
不知道有没有人从线性空间及其对偶空间的角度来回答。
设 为基域， 为有限维线性空间之间的线性同态。取定 各自的一组基 ,并设 对应于这两组基的矩阵为 .
现在考虑对偶空间 取 的对偶基，则 对应于这两组基的矩阵为 的转置 .
注意到 的列秩等于 的行秩。所以“ 的行秩等于列秩”说的是 的像具有相同的维数。
看来我只是重复了 @王筝 的回答。
还有一个证明，虽然用到了行秩大于 列秩和列秩 行秩，但不失巧妙与简洁。此证明见于Gilber Strang 的 MIT 公开课 Matrix methods in data analysis, signal processing, and machine learning.
设 为 矩阵， 的列秩和行秩分别为 . 取 的列空间的一组基 , 令
, 则 为 矩阵，并且有 矩阵 满足 .
这样，我们证明了 的行空间是由 的各行线性生成的，于是有 . 取 的转置，则以上方法证明了 , 于是有 .
1
相关话题
如何将cos(nx)写成cosx的形式多项式？零基础如何自学才能达到数学系本科水平？
掷一枚不均匀的硬币，正面概率为0.7，反面的概率为0.3，如何最高效地获得一个概率为0.5的事件？
无理数为什么能用图形表示出来？
为什么苏联建立后突然出现了一大批数学家？
一个多项式在满足什么条件时可以因式分解？能否给出证明（证法随意）?
一个一般的二次型等于0，这个方程应该如何求通解？
如何理解命题「矩阵可对角化等价于其所有特征值的代数重数等于几何重数」？
如何看待关于 1 与 0.9999… 的大小的争论？
为什么没有开区间上的 R 正常定积分的定义；开区间勒贝格可积，再加什么特殊条件，可得到开区间黎曼可积？
前一个讨论
过氧化钠有漂白性吗？
下一个讨论
不用反证法，不用三角函数，如何证明这道几何题？
相关的话题
抛开物理意义，数学家在纯代数中讨论张量积或者多重线性映射的思想背景是什么？数学在战争中能起到什么样的作用？
黄金分割数1.618的6次方及更高次幂为什么如此接近整数？
能不能出一道很难的数学题，答案是 1403，宿舍当门牌用？
请问0除0是无解还是无限个解?
下面的组合等式是否恒成立？
有没有双重否定不是肯定的情况？
如何理解矩阵的「秩」？
数学知识能否无中生有？
如何评价某留学生说“亚洲人数学能力其实很差”的vlog？
如何严谨地证明 0.9999…=1？
如何简洁地证明二次互反律？有哪些具体应用？
如何将条件收敛级数 1-1+1/2-1/2+1/3-1/3+1/4-1/4+...证其发散？
用 proof assistant/编程语言做数学科研的体验是怎样的？
为什么很多领域的理论发展到后来，简洁有力的部分都逐渐消失了？这些领域还可能出现所谓的「终极规律」么？
斐波那契数列是如何被应用到证券市场的？
为什么数学界研究人员作报告 PPT 风格都长得一样？
数学老师说，比的后项不能是零。那么为什么足球比赛中后项就可以是零了？
矩阵的可交换性有什么几何意义吗？
经济学是否适合文科生？
数学总是令我困惑，为什么可以这么做？
到底是用实数定义了复数，还是用复数定义了实数？
有关银河系搭车客指南的理解上的问题?
波是什么？什么是波？
如何用数学的方法说明极限理论的表现力强于初等数学？
随手画线段，其长度最有可能是有理数还是无理数？
如何去构造一个酉矩阵？
这道线代题该怎么做？
为什么圆周率 π 在各种物理数学公式里面经常出现？
为什么IMO的国家队成员很少有女生？