为什么矩阵行秩等于列秩？ 第1页
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guokou-wang-75-52 网友的相关建议:
不知道有没有人从线性空间及其对偶空间的角度来回答。
设 为基域， 为有限维线性空间之间的线性同态。取定 各自的一组基 ,并设 对应于这两组基的矩阵为 .
现在考虑对偶空间 取 的对偶基，则 对应于这两组基的矩阵为 的转置 .
注意到 的列秩等于 的行秩。所以“ 的行秩等于列秩”说的是 的像具有相同的维数。
看来我只是重复了 @王筝 的回答。
还有一个证明，虽然用到了行秩大于 列秩和列秩 行秩，但不失巧妙与简洁。此证明见于Gilber Strang 的 MIT 公开课 Matrix methods in data analysis, signal processing, and machine learning.
设 为 矩阵， 的列秩和行秩分别为 . 取 的列空间的一组基 , 令
, 则 为 矩阵，并且有 矩阵 满足 .
这样，我们证明了 的行空间是由 的各行线性生成的，于是有 . 取 的转置，则以上方法证明了 , 于是有 .
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