二次型的惯性定理中「惯性」是什么意思？ 第1页

先声明一下，你这命题不是正确的。正确的命题应该是这样的：

惯性定理：有限的实二次型（定理所指不是复二次型）的规范形（应该是“形”而非“型”）唯一。

因为惯性定理，所以才定义了正负惯性指数等等概念。

之后，由于实数域上的正定性与复数域的正定性不同，命题的推广受到一定影响。这定理说明对于实二次型，正负惯性指数（或者正惯性指数+秩）便可以完全决定相合类（以相合这个二元关系作为等价关系进行划分，因为二次型矩阵阶数与秩的差就是规范形中系数为0的项个数，系数为1和-1的分别由正负惯性指数唯一确定，二者之和即为矩阵的秩）；但是对于复数域，由于正定性改变，便只需要矩阵的秩了。

所以，对于有限的实二次型，矩阵的秩和正惯性指数完全决定了这个二次型所在的相合类。或者说秩与正惯性指数是相合关系下的完全不变量。

根据A.H.柯斯特利金《代数学引论》第二卷第1章第4目（Page 35）的注解，“二次型的惯性定律归功于Sylvester，起源于力学”，可能是当年老先生的时代“完全不变量”这种几何术语还没有，又加之其研究的是力学问题，这种像是物体固有属性的东西不知道叫什么好，所以就起了一个俗名“惯性”吧。

说这些主要是希望题主明白，所谓惯性定理，只是陈述秩与正惯性指数是相合关系下的完全不变量这件事而已。