如何证明n是2的幂? 第1页

这不是去年阿里竞赛的初试题吗。。。

第二问比较简单。令集合 ，即行向量组成的集合。则由假设（2）知道不同行的行向量不一样，即 。假设（1）告诉 你 在 上的二元运算 " "下封闭。不难验证在这个运算" "下， 构成了一个有限的交换群，设单位元是 。（单位元具体是啥？） 。并且注意到对于任意 ， 。这能说明n是2的幂，即我们有群论上的简单结论：

设 是有限交换群， 。若对于任意 ， ，则n是2的幂。

证明：对 归纳证明；若 平凡，则 ； 若 不平凡，取 ，对商群 用归纳假设即可。

这个问题还是比较简单......

题目中的 个向量组成了一个Abel群 ，只要证明群的阶数 是 的幂。为此我们发现，对任何 都有 ，其中 表示单位元，也就是元素全为 的行向量。也就是说，非单位元的元素的阶都是 。

用反证法。如果 不是 的幂，设 为 的奇数素因子，则由Sylow定理，存在 的Sylow 子群，记为 。其阶数 为一个奇数，从而其中有一个非单位元，称为 。这样 阶群 是 的子群，根据Lagrange定理， 整除 ，但是 是奇数，矛盾！

顺便提一下，第一问就证明有一个全是 的，其余的都满足“所有分量相加等于零”；这可以从题目中数量积的条件得出来。第三问使用一点群的线性表示的东西就行了。