如何从代数和几何的角度分别理解矩阵？ 第1页

谢邀。

我就按照题主的要求，主要分为代数和几何两个部分谈谈矩阵。

代数

矩阵与线性变换

开门见山，矩阵是线性变换的具体形式.

给定空间 中一组基 ，设一线性变换 ，则 对每个基的作用：

也就是说，

是 的“显灵“——容易证明，虽然在不同的基下，同一个线性变换对应的矩阵是不同的，但是这些不同的矩阵却是相似的，这有点同一个神仙有不同的“化身”的味道.

线性变换的退化

最典型的典型映射 ，即投影映射，是比较直观的退化的线性变换：

设 ， ，则

于是

也就是说典型映射 直接让子空间 “坍缩”为零空间，而只保留了子空间 ；子空间 的维数实际上就是 的秩 . 典型映射 在这组基下的矩阵为：

对于一般的线性变换 其实也是同样的道理——让其核空间坍缩为零空间（就像果核一样）. 所以得到如下结论是显然的：

由上面公式可知，对于满秩的线性变换，只是将 0 映射为 0，这意味着——

定理 1

非退化的线性变换将一组基映射为另外一组基.

证明

否则， 线性相关，即存在不全为零的系数 ，使得

而上式又等于

但是，满秩的线性变换只将 0 映射为 0，即

这与 是基相矛盾.

顺便说一下， 的矩阵可以看成是退化的 阶方阵，只不过增加的行、列都是零向量.

矩阵与线性方程组

将上面的过程反过来：已知某向量 经过线性变换 后的结果是 ，求 ？

因为

所以

即

于是得到线性方程组 .

以线性变换的角度去理解线性方程组的解的结构，是深刻的——
命题 1

元线性方程组 无解的充要条件为

证明

充分性：假设 ，那么 是一个 维空间 到其 维不变子空间 上的映射，即 . 假设 为方程的解，那么 也包含在 ；但是我们知道 是一个含在维数大于 的子空间的向量，因为 即 与矩阵 的列向量一组基线性无关，故矛盾.

必要性：若方程无解，即

说明 ，即 ，故

矩阵的特征理论

是 的特征向量，意思是 在 方向上的表现就好像是一个伸缩变换（数乘变换）：

我们发现零向量恒满足上式，这个平凡的情况我们无需考虑，所以特征向量不包含零向量.

如果某一线性变换 有若干线性无关的特征向量 ，那么将它们扩张为空间 中的一组基 ，

并设 ， ，则有

考虑 在子空间 上的作用：

也就是说子空间 在 保持不变. 而考虑 在这组基下的矩阵就会有很别致的感觉：

其中 是一个对角阵

特别的，如果 ，即 有 个线性无关的特征向量，那么矩阵就可以对角化.

矩阵与复数

这个映射看似简单，实际上——

即满足

这是一个同构映射，复数的性质可以完全用矩阵来刻画.

由欧拉公式，

以同构 将之映射为

这个映射被完美地分解为一个伸缩映射 和一个旋转映射 的乘积：

而同构 ，说明了伸缩映射 和一个旋转映射 在实平面同样适用.

讲到这里矩阵的几何性质也展露得差不多了.

几何

特征向量

若线性变换 保持直线 不动， 上的向量 就是特征向量.

例 1

线性变换 在标准正交基 下的矩阵为：

显然在这个线性变换下，保持 x 轴和 y 轴不变.

例 2

并不是总是有特征向量，比如

这个线性变换是旋转变换，以原点为圆心，逆时针旋转 45 度，试想整个平面上所有的直线，有哪个能保持方向不变呢？没有！所以 没有实特征向量.

不过，放到三维空间去看，事实上有一个特征向量在平面上是看不到的，想想地球仪的旋转，保持地轴不动，所以在三维空间旋转的特征方向是与旋转平面正交的方向——关于这个结论可以推广到到酉空间、酉变换上：若 是酉变换 的不变子，那么 也是 的不变子.

例 3

在象限对角线这两个正交的方向上保持不变；更进一步，会发现这样的性质：

验证：

这样的变换被称为对称变换（容易证明），试想平面上的对称变换的特征方向，不正是对称轴方向以及与对称轴正交的方向吗——关于这个结论可以推广到到酉空间、Hermite 变换上：若 是 Hermite 变换 的不变子，那么 也是 的不变子.

利用几何的视角，许多结论是非常直观的. 上面三个例子反映了伸缩、旋转、对称的特征方向的几何意义.

二次型

Hesse 矩阵判断极值的几何意义，就是研究函数在极值点处的近似二次曲面的性质.

行列式与体积

对角矩阵惹人喜爱不是没有原因的，其非常本质的原因是正交性.

由解析几何的知识可知，行列式绝对值表示的是 维平行多面体的体积，即

表示向量 、 所围成的平行四边形面积；

表示 、 、 所围成的平行六面体体积；

如果矩阵是对角阵，那么意味着所求体积是一个（超）长方体体积.

另外， Green 公式的退化版本也可由此初见端倪，考虑平面上一个包含原点、分段光滑的封闭曲线 ，考虑一个以原点以及曲线上两点为顶点微分三角形， ， ，那么这个微分三角形的面积（这里我们考虑有向面积，即꩜面积可为负）：

当我们把这些微分三角形“积”起来，就是曲线 所围成区域 的面积. 这就是 Green 公式——

令 ， 的退化形式.

同理，也可以推出 Gauss 公式的退化形式，这就又涉及到分析的领域了.

附：

分析

多元可微函数的导数

设可微向量值函数 ，记 ，

为其在 处的导数，几何意义则是函数在该点的超切平面，这在低维情况下是显而易见的.

双线性函数

双线性函数从很抽象的高度，将二次型、矩阵的迹、内积等等概念统合到一起加以研究. 其一般的形式为：

其中 是一个矩阵，双线性函数的全部信息都蕴含在其中；当令矩阵为一些特殊矩阵时，双线性函数就会得到十分多彩的性质：

• （对称阵）
• （斜对称阵）
• （标准内积）
• 正定或半正定

……

我们特别偏爱具有对称性质的双线性函数，并且称之为广义上的“内积”，尽管可能不一定拥有正定性（这意味着没有距离、夹角的概念），但是正交性还是被保留的，我们仍然认为拥有以下性质的向量是正交关系：

被赋予这样内积的空间称为正交空间，正交空间内可能会出现这样的迷之现象，就是非零向量可能和自己正交，这简直是 Bug 的存在！例如，在 Minkowski 空间内，

这样的非零向量被称为迷向向量，在狭义相对论中也称光向量；这样的内积使得在 Lorentz 变换下不变，从而满足相对性原理，保持了时-空间隔的平方不变：

所以“尺缩效应”的数学解释为：尺子在四维空间的时-空间隔是不变的（当尺子静止时，他的时空间隔就是它静止时的长度），但当速度太大接近光速的时候，为了保持“时空长度”不变，所以尺子的“空间长度”旋转到了第四维度中，而我们肉眼能看到的只是“时空长度”在三维空间的投影.

斜对称双线性函数也是很有市场的，配备这样的内积空间称为辛空间，有限维正则（非退化）辛空间一定是偶数维度；Hermite 内积定义了酉空间，将正交性推向了极致……

总结

能说得太多，以后慢慢补充吧。