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常微分方程解对初值的连续依赖性,书上都是定理证明,能否举个最简的方程来说明下,它的解是怎么依赖初值的? 第1页

  

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从几何的角度,一个向量场 诱导一条积分曲线 ,满足:

这在一般流形 的局部上是成立的,但是我们不妨仅在欧式空间 中讨论。

这就好比有一个平稳的水流(几乎听不到水流的声响),我们将水流表面的流速视为向量场,这时将一艘纸船放在水流的某一点(初始位置),不需要外力介入,小船自己就会划出一条轨迹(积分曲线)。如果我在放第二艘纸船的时候,离第一艘纸船的初始位置很近,直觉上,这两艘小船的轨迹在某一时间内、某一邻域内也极其接近——这就是连续依赖初始位置的简单说法。如果,是一个不稳定的水流,比如水流遇到乱石的阻挡、扰动,或者是瀑布的飞溅,会产生不可控的局面,此时会破坏这种连续性。

举个最简单的例子:

也就是说,从原点开始,给予质点初速度 ,于是接下来质点将会沿一条直线保持这个速度运动下去,质点的轨迹是 ;如果换一个初始位置 ,那么解这个微分方程得到轨线为 ,从图像上看,这两条直线之间彼此非常靠近。




  

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