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这道关于定积分的题该如何解决? 第1页

  

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命 则 于是[1]

这个极限可以换元后直接利用 控制收敛定理求得,但这里想给出另一种低门槛的分析方法,核心思想就是通过区间分割来达到「分而治之」的目的[2]首先,注意到

于是只需证这末式第一项极限为零。由于 在 连续,于是任给 存在 当 时,有 这里,可以将 取得稍小一点,以使得 同时,依 的有界性[3],可设对所有 都有

进而

利用序列的上、下极限[4],并依 的任意性,即证。

参考

  1. ^ 下面主要利用了Wallis公式和相关的极限结论。
  2. ^ 事实上,对于第(1)问也可以利用这种基本的分析方法,请读者自行尝试。
  3. ^ 闭区间上的连续函数必定有界。
  4. ^ 这里的严谨做法需要对上面这个不等式分别取上、下极限来证明上、下极限相等,从而序列收敛。



  

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