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如图,这个二元函数的界怎么估算? 第1页

  

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令 , ,那么 , 。我们知道 在正方形 的四顶点函数值之和为0,想证明在正方形上 。由Lagrange中值定理有
(注意上面涉及的线段都在正方形内)。四式相加得

因此 。

编辑:这个方法高维推广会遇到困难,因为,比如三维的情况,这样换元就会把正方体变成正八面体,就无法套用中值定理了。还需要更好的方法。


user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

不妨设

设线段(弧长参数)

满足

考虑一元函数 ,其导数为

于是由 中值定理

将四个式子叠加

将这两个估计代入

则取一列 列收敛到点 ,由函数的连续性、极限的保号性可知上面的不等式依然成立。


这个证明得到的上界介于

以后有机会再改进改进吧……

所以将这个结论推广到多元函数,函数最大绝对值至少由上界

控制,其中 表示 维闭单位立方体内一点,到各个顶点距离。这个最大值在项点处取得,证略。

利用 求和得到上式右边的粗略估计:




  

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