补充一下其他答主的回答:
由于正弦函数在0~π/2的单调性,且sinx≤x,再结合其奇函数的对称性,
可知:
嵌套函数的第n层最大值必然小于第n-1层最大值。当n→∞,Xₙ=sin(Xₙ₋₁)迭代的函数图像必然收敛于x轴(见下图)。
其需要注意的是无论迭代次数是几次,图像在x=nπ(n∈Z)处的导数恒为1或-1,
极限并非为0,也就是函数看似水平,实际永远均匀分布着斜坡!!
这个古怪的结果其实不难理解,是很基础的复合函数求导:
又因
则
根据周期性、连续性、奇偶性可知:
所以,这个迭代函数极限的图像并不是真的变成x轴,只是趋近,他依然有斜率,就好比三体人造的水滴,看似无穷光滑,但在量子物理角度来看只是中子简并物质,而不是彻底光滑!!
我们可以想办法放大这个斜率!!
我们不妨给每层函数再乘一个系数b,取b=1/sin(1),这样就恰好能使每一层函数最大值都保持在1(最小值保持在-1),于是我们可以看到迭代足够做多次的图像为:
不严谨的结论:
Xₙ=b·sin(Xₙ₋₁)迭代的函数图像极限是方波,其中b不应小于等于1/sin(1),这种逼近方波的方式收敛速度较快,起码比烂大街的傅里叶级数前n项和要快很多。
以下是对于【b倍的正弦函数迭代极限为方波】这个一结论粗略的证明:
那么x=nπ处的导数自然为:
无穷大的斜率是符合方波特征的。
而迭代函数在x≠nπ处的导数为:
其中, ,
且
前文已经取 ,
则可知:
(当i足够大时即可)
但是由于单峰映射(逻辑斯蒂映射)的分形与混沌性质,b也不能过大,否则迭代结果会从单周期分裂为二周期、四周期……直至混沌。(如下图,给b乘上一个系数c,来观察图像随着b·c如何变化)
在此后,混沌和分形会规律地交替出现(如下图)
处于稳定的阶段时,函数的最值与b·c成正比,以下是迭代的分叉图,图中的β即本回答的b·c系数: