如何评价「泛函、映射、算子、变换都是函数，是搞数学的人骗普通人的把戏」这一说法？实际情况如何？ 第1页

这些词汇的本质的确没有什么太大的区别，但是你知道数学并不是一个人编纂的，而是很多人一起各自发展一点数学理论，然后组合起来成为数学的大杂烩。

「映射」是数学里的一个基本概念，和「映射」并列的是「函数」，它们描述的东西是完全一样的，不过映射是一个更为抽象的概念，而函数源于实数函数，表达的是给它一个输入值它会返回一个输出值的概念，所以感觉上用映射这个词会显得“高端”一点。映射是mapping，函数是function.

「算子」、「变换」一般是分析学的词汇，它们表达的意思其实和映射也是一样的。在分析学里比较强调“空间”的概念，所以有别于集合论里一般化的映射，算子和变换更体现元素在两个空间之间转换。另外算子源于一些真正的计算，量子力学我不熟悉就不举例子了，比如说数学里的求导算子，它在发明之初只是一种“计算”而已，并没有被看作映射，所以可能后来在把它视为光滑函数空间上的映射时使用了算子这样的描述。至于变换，比如傅里叶变换，隐隐约约有将时域变为频域这样的一个含义，所以大概因为这个叫做变换。在现代数学的角度上算子和变换是同一回事情。在特定情况下变换会被称作「表现」，这时一般有一类标准的空间，而一个表现就是把任意空间的元素变换为标准空间的元素。

「泛函」是一个不同的词汇，泛函特指向量到标量域的映射。一个向量空间(vector space/linear space/module)由一个标量空间和向量空间构成，标量和向量定义有乘法，也就是说标量乘以向量是向量。例如实数（标量）与复数（向量）构成一个向量空间，复数（标量）与复变连续函数（向量）构成一个向量空间，组合方式有很多。一般情况下所说的泛函指的是线性泛函（就像算子和变换大部分时候也是线性的），比如将连续函数 映射为 ，或者将复数 映射为实部 ，不过从广义上只要定义域是向量空间，值域是标量就行。

搞数学的人也都是普通人，没必要神话，没必要，真的。愿风神忽悠你(๑> <๑）

先说结论：这几个本质上都是映射无误，但是有着各自用途，故而有了不同的说法。函数是从数到数的映射，泛函是从函数到数的映射，算子是从映射到映射的映射。而变换则更强调两个空间内元素相互的映射关系。

题主说的也不是没有道理，这几个本质上都是映射的不同说法，T：A →B。但是映射跟映射也会有一定的区别，随着应用场景不同而不同。

就像是，我们在机器学习领域当中叫训练集和测试集，在计量里面就叫样本内和样本外。于谦的父亲在这一幕里面被称作王老爷子，在下一幕里面就被叫于予玉，于小千，但是本质上都是一个人，不同说法。

苹果是水果，香蕉也是水果，蛇果也是水果，菠萝是水果，凤梨也是水果，但是这几个名词是骗人的把戏吗？并不是。

那么为什么要区分这几个不同的说法，我们讲，函数是数集之间的映射，A跟B都是数集，这个很好理解。

但是如果某一天，我们想要研究从数集R到另一个数集R的所有函数（注意是研究函数）有什么性质，那么我们应该研究的空间里面的元素是什么？函数。那么这个映射我们应该怎么称呼？泛函。lp，C［a，b］，Lp都是函数空间，里面的元素是函数。泛函又是什么到什么的映射？从函数到数的映射。这个时候我们就应该接触过banach空间和范数了。

假如，我们给定A是三维直角坐标系下面的向量空间，给定B是球坐标系下的向量空间，如果A和B同构，A里面的元素跟B里面的元素能不能做对应？可以，从a到b，从b到a都是可以的那么这个对应映射怎么称呼？变换。傅立叶变换就是频域和谱域的变换，将A空间的元素和B空间的元素之间建立联系。像物理里面的洛伦兹变换，也是不同参考系下的元素之间的映射关系。

算子其实也很好理解，举个直观的例子，ABC是三个三维的方阵，其中C＝AB。能够将向量x（x1，x2，x3）进行线性变换，这个时候我们就可以把ABC看成是三个线性变换函数，由于交换律被满足，Cx＝（AB）x＝A（Bx），那么，我们能不能把B看成从A到C的映射，可以。那么怎么称呼？把从映射到映射的映射称之为算子。我们之后就可以研究算子群的性质了，比如紧性，比如零元，比如左伴随之类的性质，也正是这样，我们才能做矩阵的LU分解。

以上