设对称矩阵 ,它是作用于三维空间的线性变换
我们为了方便观察它究竟如何改变了三维空间中的点,于是我们观察它如何改变单位球。理论上,只要研究清楚线性变换对所有单位向量的作用,也就研究清楚线性变换对空间中的每一点的作用,这是显然的事情,这是因为线性变换的线性——
如上图,我们发现,经过变换后的单位球面变成了椭球面,而且椭球面的三个对称轴就是矩阵 的三个特征方向,椭球面三个半轴长就是特征值的绝对值。所以不同特征值对应的特征向量垂直,这是椭球面的几何性质。
为什么是椭球面,这个读者自己计算验证即可。至于为什么是椭球面的三个对称轴,需要考虑函数的极值问题。函数
表示椭球面沿单位向量 的高度函数。利用拉格朗日条件极值原理,可以算出极值点恰好是 的特征向量,极值是特征值。这个学过高数应该都能处理。
(从Morse理论讲,函数 在特征向量这一点处是一个非退化的临界点(即 非退化),它局部上的指标是0,这是椭球面的拓扑性质决定的。)
如果特征值相同的特征向量怎么办?这个时候椭球面成为旋转椭球面,即它沿着长半轴的投影是圆盘。
上图这个圆上的任意向量都是 的特征向量,这个圆所在的平面是 某个特征重根所对应的二维不变子空间,从几何上讲,就是 将这个平面从原点向各个方向伸缩了相同的倍数,但平面还是平面,所以是不变子空间。它上面的基有无穷多组(不考虑相乘一个对角矩阵),所以你无法说相同特征根对应的特征向量是正交的,这不一定。
读者可以用拉格朗日极值原理算一下这种退化的情况。
泛函分析中关于对称紧算子有相关结论[1],算是这个问题的推广—— 关于对称紧算子的习题 - 三川啦啦啦的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/339703174 当时北师大杨大春教授特别讲过这个例子,但是你在他的书上是找不到的,他会以笔记的形式补充。复旦版的高维微积分有这个例子的详细计算过程——
这本书我比较喜欢,图好看,计算很清楚。
以下是这个命题的一般证明——
对称矩阵 对任意向量 都满足性质
其中 是内积。这也是对称线性变换的定义。
假设特征值、特征向量:
代入到 中,则
由于题目要求是不同特征值 ,所以只能得到 即两特征向量正交。