怎么巧记施密特正交公式？如图。？ 第1页

当然是理解后去记忆。

如果 是某向量空间的基，那么可通过下列做法找到该向量空间中的 个两两正交的向量 ：

该方法称为施密特正交化（Gram–Schmidt process）。

1 二维平面

下面以在 中寻找两个正交的向量为例，来解释下施密特正交化是如何推导出来的。

1.1 思路

让我们从思路说起，比如想寻找 中的两个正交向量，需要先知道 的一个基，也就是下图中的两个向量：

只要将其中一个向量对另外一个向量进行投影，就可以完成正交化：

2 代数

下面来进行代数推导，假设基为 ：

任选其一作为 ，比如选 ：

将 向 进行投影，其垂线就是要求的 ：

如果知道了 的投影：

那么根据向量减法的几何意义可知：

其中的投影向量可以如下计算()：

所以：

上述方法就称为施密特正交化，可以总结如下：

这样得到的 和 就是 中正交的两个向量：

2.1 任意的平面

之前的推导是在 中完成的，实际上该结论在任意平面上也是成立的，比如已知三维向量空间中某平面以及它的基 ，下面是示意图：

如果想在该平面中找到两个正交的向量，那么根据施密特正交化，可算出：

该 和 就是该平面中的两个正交向量：

可以分两步来验算：

（1）验算 和 是否正交。计算两者点积：

可知 和 正交。

（2）验算 和 是否在 和 的张成空间中。根据施密特正交化的计算方法：

因为 ，所以 必然在 和 的张成空间中，而 是 和 线性组合，自然也在 和 的张成空间中。

3 三维立体

下面是在 中寻找三个两两正交的向量的例子，这样可以进一步理解施密特正交化的推导。

3.1 思路

思路还是很简单，比如想寻找 中的三个两两正交向量，需要先知道 的一个基，也就是下图中的三个向量：

先按照之前介绍的，将其中任意两个向量正交化：

然后向这两个正交向量的张成空间作垂线，从而得到三个正交向量：

3.2 代数

下面来进行代数推导，假设基为 、 和 ：

任选两个向量，按照之前介绍的将其中任意两个向量正交化，得到 和 ：

再将 作 张成平面的垂线就得到 ：

要求出 只需要知道 的投影：

然后根据向量减法的几何意义可知：

从几何上可以看出，该投影向量是由 在 上的投影向量和 在 上的投影向量线性组合而成：

即：

所以：

上述过程可以总结如下：

这样得到的 就是 中三个两两正交的向量：