为什么（多个）向量共轭，使用的矩阵一定是要 对称正定 的？ 第1页

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使用正定对称阵，在线性空间中可以定义内积，有了内积就有了“正交”、“距离”的概念，这个距离是我们熟悉的欧氏距离的一种推广。

我们先看看欧氏空间的内积如何定义：

欧氏空间

欧氏空间就是在线性空间中定义了 内积 (•,•)， 它是从向量空间到实数域上的二元函数 ，满足以下三条公理:

• 对称性 ：

( a , b )=( b , a )

•（ 双 ） 线性 ：

(k a +l c , b )=k( a , b )+l( c , b )

•正定性：

( a , a )>=0, 等号成立当且仅当 a 为零向量

以上系数皆属实数域。

正交

有了内积的定义，我们就可以定义何为两个向量的夹角、正交的概念。

两向量夹角余弦 :

cos< a , b >=( a , b )/(| a |•| b |)

特别的，当两向量正交(垂直)时，有

( a , b )=0

此两者互为充要条件。

如果我们将上面的内积定义为：

(a,b)=t(a)·G·b

其中t(a)指a的转置，G为对称正定阵。

有没有发现这个“内积”三条公理全都满足！

有了内积，我们可以仿照上述方式定义距离、夹角、正交等概念，即题主所说的共轭。在统计学中的聚类分析中，定义的马尔可夫距离正如同此形式。

在二次曲线中，类似的定义早已出现。

其中A₀表示二次曲线二次项系数所对应的二次型矩阵。