如何从几何的角度说明对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必定是两两正交的? 第1页

几何解释

设对称矩阵 ，它是作用于三维空间的线性变换

我们为了方便观察它究竟如何改变了三维空间中的点，于是我们观察它如何改变单位球。理论上，只要研究清楚线性变换对所有单位向量的作用，也就研究清楚线性变换对空间中的每一点的作用，这是显然的事情，这是因为线性变换的线性——

如上图，我们发现，经过变换后的单位球面变成了椭球面，而且椭球面的三个对称轴就是矩阵 的三个特征方向，椭球面三个半轴长就是特征值的绝对值。所以不同特征值对应的特征向量垂直，这是椭球面的几何性质。

为什么是椭球面，这个读者自己计算验证即可。至于为什么是椭球面的三个对称轴，需要考虑函数的极值问题。函数

表示椭球面沿单位向量 的高度函数。利用拉格朗日条件极值原理，可以算出极值点恰好是 的特征向量，极值是特征值。这个学过高数应该都能处理。

（从Morse理论讲，函数 在特征向量这一点处是一个非退化的临界点（即 非退化），它局部上的指标是0，这是椭球面的拓扑性质决定的。）

退化情况

如果特征值相同的特征向量怎么办？这个时候椭球面成为旋转椭球面，即它沿着长半轴的投影是圆盘。

上图这个圆上的任意向量都是 的特征向量，这个圆所在的平面是 某个特征重根所对应的二维不变子空间，从几何上讲，就是 将这个平面从原点向各个方向伸缩了相同的倍数，但平面还是平面，所以是不变子空间。它上面的基有无穷多组（不考虑相乘一个对角矩阵），所以你无法说相同特征根对应的特征向量是正交的，这不一定。

读者可以用拉格朗日极值原理算一下这种退化的情况。

泛函分析中关于对称紧算子有相关结论^[1]，算是这个问题的推广—— 关于对称紧算子的习题 - 三川啦啦啦的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/339703174 当时北师大杨大春教授特别讲过这个例子，但是你在他的书上是找不到的，他会以笔记的形式补充。复旦版的高维微积分有这个例子的详细计算过程——

1. ^ 杨大春，袁荣，《泛函分析讲义》