如果你来讲物理类《线性代数》课程，你会如何设计？ 第1页

写个实用的, 你要是学量子力学之前就看到了我这个回答的话, 真的就可以按我说的来.

就是对着我提到的概念自己去查资料搞懂就行了.

真的感兴趣的话可以将 東雲正樹：[前置内容] 从映射到线性空间上的张量 作为参考资料之一.

线性代数可以说是理工科所处的空间本身, 是理工模型世界的原子, 是理工人呼吸的空气.

你可以意识不到空气的存在, 但没了空气, 你也就没了.

作为一门基础课中的基础基础课, 作为唯一一门不依赖于高数的课程, 面向的应是大一新生.

所以必须考虑学生的适应能力, 自嗨开大是没有意义的.

最后就是, 考虑实用性, 过于数学的细节全部舍去, 理清了框架领悟了思维方法后自己若还想更深入严谨地学习的话是谁都拦不住的. 而这种严谨不是所有人都需要的, 自然不应该放到课堂上来.

课程分七层, 共计需要 64+ 个课时, 考虑到同学们还有其它课程, 概念都只浅析, 重点在整体结构.

整个学完的话, 将来像量子力学之类的课程直接就送了.

后续其它课程的老师应该都会很感谢这门课的开设,
因为他们可以从线性空间与映射的角度清晰地定义他们要讲的物理对象了.

很遗憾, 国内大多高校的课程内的所有内容加起来大约也只能凑够支离破碎的两层的感觉.

第零层

2 个课时:

• 介绍直积等最初级的记号:

(1). 符号 用于连接两个在特定数学概念上完全相同的内容.
(2). 符号 用于连接两个在特定数学概念上有差异的内容.
(3). 符号 用于代替词语定义为或为, 即其中一边是另一边的一个记号.
(4). 符号 用于代替词语存在, 符号 用于代替词语任意.
(5). 符号 的左边是集合中的元素, 右边是元素所处的集合.
(6). 符号 的左边是右边的子集; 符号 的左边是右边的真子集.
(7). 符号 用于代替词语可推得, 符号 用来代替词语对应于.
(8). 直积 的作用是生成有序元素组的集合^[1]: .
(9). 格式 表示的是 被 作用的结果.
(10). 若内部有小括号则外部的小括号会自动升级为中括号, 如 .
(10). Kronecker delta 就是 和 两个数的简单记法.

• 引入映射的概念, 介绍映射记号 的含义.

仅介绍定义, 不过度研究核之类的概念. 内容参考 [前置内容] 第一节.
第一个课时搞清楚集合是啥, 介绍上述记号, 引入单射满射双射的概念.
第二个课时通过举例子唠嗑, 让同学们好好感受一下上面三个概念.
下课回家好好反思.

把电子版的讲义发给学生, 哪里不懂自己回去看.

第一层

14 个课时:

• 从八条运算规则引入线性空间的概念, 并强调线性空间不存在额外的操作了.

认识到数域就是一个关于加减乘除运算封闭的数的集合.
选择实数域就是实线性空间, 选择复数域就是复线性空间, 暂不对复数做深入探讨.

• 让学生认识到矢量就是线性空间的元素.

只要加法和数乘规定好了, 你可以是矢量, 我也可以是矢量, 我家的猫猫狗狗都可以是矢量.

• 引入线性相关的概念, 并定义基矢.

在这个基础上加深对线性运算的理解.
让学生认识到对矢量的线性操作都可以用对基矢的线性操作来表达.

• 引入线性变换的概念.
• 引入内积的概念.
• 引入标准正交基的概念.

无论线性变换、内积还是加法数乘都用映射的格式写出来.
让学生意识到内积的选择完全是人为任意规定的, 且只需要指定基矢的映射就足矣.
让学生意识到内积选择的任意性可以使得任何一组基矢都成为标准正交基.

第二层

5 个课时:

• 从映射的角度引入对偶线性空间的概念.

强调对偶基矢必须由条件 来生成.

• 引入线性空间的同构映射的概念, 并点明维度是线性空间唯一的特征量或者说不变量.
• 介绍同构映射, 并强调线性空间 与其对偶空间 不存在自然同构映射.
• 让学生认识到线性空间 的对偶空间 的那个对偶空间 与 存在自然同构.
• 让学生认识到『自然』的意思.

『自然』就是可以通过人为约定让任何人都可以通过此约定独立地找到相同的数学对象.

第三层

7 个课时:

• 引入矩阵的概念, 并强调矩阵真的只是一个数字构成的表格罢了.
• 定义矩阵的加减法, 并强调这真的只是一个表格上的加减法.
• 定义矩阵的乘法, 并强调这真的只是一个表格上的乘法.
• 介绍一下一些特殊的矩阵与分块儿矩阵的相关性质.
• 定义矩阵的行列式, 并只介绍二阶与三阶行列式的计算方法.

第四层

12 个课时:

• 让学生认识到列矩阵构成的表格空间也是一种线性空间.
• 让学生认识到在矩阵的乘法约定下, 行矩阵将构成上述空间的对偶空间.
• 让学生认识到在这个线性空间里, 方阵配上矩阵乘法可以充当线性变换.
• 建立任意线性空间到列表格空间的同构映射.
• 认识到对偶基矢的选择与内积的选择存在一个一一对应的关系.

认识到选择了对偶基底等同于选择了一个内积使得当前基底成为标准正交基.
具体而言在有基底 与对偶基底 的情况下,
可以通过定义内积括号 来生成一个自然内积.
认识到可以使内积的选择独立于对偶基底的选择, 但这是自讨苦吃.

• 认识到内积选择的任意性源于 与 不存在自然同构.
• 引入粗略的张量积概念.

暂仅介绍对偶矢量与矢量之间的张量积.

• 将任意线性空间上的线性变换用基底的张量积展开.

即将线性变换 展开为 .

• 按照左行右列的规矩将展开系数排成矩阵.
• 认识到能这么做的前提是选好了标准正交基.

理解我们虽然没明说, 但对偶基底的选择本质等同于确定了标准正交基.

• 从线性变换的角度解释线性方程组 与 .

重点在于介绍解空间的概念.
如果感到课时不算太紧张的话可以谈谈从线性变换的角度解释微分方程
与 .

• 借解方程组顺便引入线性变换的核与秩的概念.

第五层

15 个课时:

• 引入人见人爱的狄拉克符号.
• 介绍矢量与波函数(不引入波函数这个词)的关系.
• 介绍线性变换或者说矩阵的本征值与本征矢.
• 引入本征子空间与简并的概念.
• 定义对易子同时介绍共同本征矢的概念.
• 介绍狄拉克符号下的基底选择.
• 介绍相似变换与本征值谱的概念.
• 介绍对称矩阵的相似对角化与本征矢及相似变换的关系.
• *介绍线性空间与函数空间的一些联系(选讲).

第六层

7 个课时:

• 从多重线性映射的角度引入张量.
• 举几个张量的例子, 认识到矢量对偶矢量以及空间上的线性变换都是张量的特例.
• 介绍张量与矢量或对偶矢量作用后的缩并与张量的退化.
• 引入矩阵的迹的概念, 并用张量的缩并来表述.
• 推广张量积, 介绍张量所处的线性空间, 并认识到张量也只是矢量的一个特例.

第七层(明确指出考试不考)

2+ 个课时:

• 引入重复指标求和规则.
• 引入矩阵的函数.

学期末了, 大家应该都在高数课上学完了幂级数展开的概念.

• 若有剩余的课时则介绍一下复数域上的这一切.
• 若有剩余课时再引入度规的概念.
• 若有剩余课时综合讲讲行列式的意义.
• 若有剩余课时就提一下代数与线性空间的关系.
• 把这部分的电子讲义发下去, 对幺正矩阵与厄米矩阵感兴趣的自己假期看.

期末考察范围

不明说, 但只考察到第四层, 第五层最多最多只设一题.

这是因为大家肯定不可能一学期把这些学的多清楚, 反正讲义都发下去了, 可以日后慢慢来.
能课后回去能有精力跟着讲义推完一半的内容就很可以了, 相信他们假期回去还会接着自学.
让这种认真学习的学生拿个不好看的成绩我还是干不出来的.
至于那种临时抱佛脚不求甚解的学生就等着我施舍个迫近及格线的分数吧.

定义级别的证明题:

例如证明空间 与 存在自然同构.
例如证明对偶矢量可以用条件 生成的对偶基矢展开.

概念考察题:

例如写出某概念的定义.
例如写出矢量与线性变换的基底展开式.
例如阐述对称矩阵的相似对角化与相应矩阵的本征矢之间的关系.

计算题: 无, 坚决不出算表格的玩意儿.

刷题? 没这条路.

参考

1. ^ 这个也叫 Cartesian product, 说白了就是打包处理, 并没有给予任何额外的操作.